Considere um anel isolante de raio
dividido em duas partes iguais, uma neutra e a outra com carga Q uniforme.
(a) Determine o potencial elétrico
num ponto qualquer do eixo do anel.
(b) Determine o vetor campo elétrico
no mesmo ponto.
(c) Qual o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica, de raio
e altura
, concêntrica com o anel?
a) Eixo
← OBSERVADOR
← Posicāto ELENTO DE CARGA
(a) Determine o potencial elétrico
(b) Determine o vetor campo elétrico
(c) Qual o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica, de raio
a) Eixo
← Posicāto ELENTO DE CARGA
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
- Dado: um anel (arco circular) de raio
que foi dividido em duas metades iguais; uma das metades está neutra (sem carga) e a outra tem carga total distribuída uniformemente ao longo da metade carregada. O anel está no plano e o eixo do anel é o eixo . A posição do ponto onde se quer o potencial e o campo é qualquer ponto sobre o eixo do anel, ou seja um ponto com coordenadas . - Pergunta (a): determinar o potencial elétrico
num ponto qualquer do eixo do anel. - Pergunta (b): determinar o vetor campo elétrico
no mesmo ponto (no eixo). - Pergunta (c): calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica de raio
e altura , concêntrica com o anel (eixo comum).
Informações relevantes dadas ou que vamos usar imediatamente:
- A distância de qualquer ponto do eixo
a qualquer ponto da circunferência de raio (independente do ângulo) é . - A constante coulombiana
será escrita como . - A distribuição de carga ao longo da metade do anel tem densidade linear uniforme
, pois o comprimento da metade do anel é .
Passo 2
(a) Cálculo do potencial
no eixo: princípios e conta passo a passo.
Aula rápida (princípio usado): o potencial devido a um elemento de carga
em um ponto do espaço é
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde se calcula o potencial. Por superposição, o potencial total é a integral dessa expressão para toda a distribuição de carga.
No nosso caso o ponto de observação está em
e qualquer elemento de carga do anel está na circunferência de raio
no plano
. A distância entre o elemento
e o ponto é, para qualquer ângulo
da circunferência,
Observação importante (pedagógica): esse
é independente de
! Ou seja, todos os elementos de carga do anel estão à mesma distância do ponto sobre o eixo. Isso simplifica muito a integral do potencial.
Então, integrando:
Substituindo
, obtemos a forma final:
Comentário didático rápido: note que essa expressão depende só da carga total
sobre a circunferência (não de como ela está angularmente distribuída). Isso vale para o valor do potencial no eixo, porque a distância é a mesma para todos os elementos. Entretanto, isso NÃO implica que o campo total no eixo terá necessariamente apenas componente axial — para isso precisamos avaliar o vetor campo.
Passo 3
(b) Cálculo do vetor campo elétrico
no ponto do eixo: passo a passo e conceito.
Aula rápida (princípio usado): o campo devido a um elemento de carga
é dado por
onde
é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto de observação. O campo total é a integral vetorial dessa expressão.
Vamos decompor o campo em componentes: componente axial (
) e componente no plano do anel (radial/transversal). Considere um elemento de carga em ângulo
com coordenadas
. O ponto de observação é
. Então o vetor que vai do elemento até o ponto é
A distância é
(constante). Assim, o elemento de campo é
Agora integramos sobre a metade carregada. Antes de inserir os limites, é útil observar uma propriedade geral que facilita a conta:
- A componente axial (na direção
) integra-se simplesmente porque o fator multiplicativo é constante e . Logo a componente axial do campo é
Ou seja,
Observação didática: esse resultado coincide com
calculado a partir do potencial do Passo 2. Isso é consistente: a derivada do potencial ao longo do eixo dá a componente axial do campo. Porém isso NÃO dá as componentes horizontais (no plano
).
- As componentes transversais (no plano do anel) depend da soma vetorial dos vetores posição dos elementos de carga. Como aqui a distância
é constante, podemos escrever a componente transversal total como
onde
é o vetor posição do elemento de carga projetado no plano
(isto é
). A integral
é simplesmente o momento dipolar planar (a primeira momenta espacial da carga) — em outras palavras, aponta para o centro de carga da metade carregada e tem módulo proporcional a
.
Calculemos explicitamente para a configuração “metade carregada” escolhendo a metade como o semicircunferência
(metade superior, que é um caso típico e compatível com o desenho enviado). Então
O momento planar é
Calcule as integrais simples:
Logo
Substituindo em
,
Portanto, para a escolha “semicírculo de
a
” (metade superior) obtemos o campo total no eixo:
Comentário pedagógico e de uso em prova: a componente axial depende apenas da carga total
; a componente transversal depende da distribuição angular através do vetor
. Se a metade carregada fosse outra (por exemplo direita
), a componente transversal apontaria na direção radial correspondente (por exemplo
) e teria módulo computado do mesmo jeito. No caso especial do anel totalmente carregado (carga distribuída uniformemente em
), o momento planar
é zero e, portanto,
: só sobra a componente
conhecida do anel completo.
Passo 4
(c) Fluxo do campo elétrico através da superfície cilíndrica de raio
e altura
, concêntrica com o anel.
Aula rápida (princípio usado): Lei de Gauss para o campo elétrico diz que o fluxo total através de uma superfície fechada
é igual à carga total dentro do volume
limitada por
dividido por
:
Vamos construir a superfície fechada composta pela superfície lateral cilíndrica (o que nos pedem) mais as duas tampas circulares (uma em
e outra em
). Denotando
Aqui
é a carga total contida no volume fechado pelo cilindro. Tomamos o cilindro de raio ligeiramente maior que
se necessário (caso a carga caia exatamente na superfície, interpreta-se como limite de raio
). Assim
.
Agora um argumento de simetria essencial: todas as cargas estão no plano
. O componente
do campo tem paridade ímpar em
relativamente a esse plano: para cargas localizadas em
vale
. Consequência: o fluxo através da tampa superior é o oposto do fluxo através da tampa inferior (mesmo módulo, sinais contrários), então
Portanto da equação de Gauss para a superfície fechada obtemos
Conclusão: o fluxo através da superfície cilíndrica lateral (de raio
e altura
, concêntrica com o anel) é independente de
e vale
Observação prática: essa conclusão vale tomando o cilindro como fechando a região contendo a carga
. Se o anel estiver exatamente na superfície do cilindro, interpretar como limite por fora (raio
) resolve a ambiguidade. Em provas, basta argumentar com Gauss e a paridade de
para justificar que as tampas se cancelam e que todo o fluxo do total
atravessa a lateral.
Resposta
(para a metade superior
:
, logo
)