Considere um anel isolante de raio a dividido em duas partes iguais, uma neutra e a outra com carga Q uniforme.
(a) Determine o potencial elétrico V num ponto qualquer do eixo do anel.
(b) Determine o vetor campo elétrico \mathbf{E} no mesmo ponto.
(c) Qual o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica, de raio a e altura h, concêntrica com o anel?
a) Eixo \| \hat{z}
\begin{aligned} & \vec{R}=z \hat{\gamma} \\\ & \vec{R}^{\prime}=a[\cos \theta \hat{x}+\operatorname{sen} \theta \hat{y}] \end{aligned}
← OBSERVADOR
← Posicāto ELENTO DE CARGA
\begin{gathered} \vec{r}=\vec{R}-\vec{R}^{\prime}=z \hat{z}-a[\cos \theta \hat{x}+\operatorname{sen} \theta \hat{y}] \Rightarrow r=\sqrt{z^{2}+a^{2}} \\\ V(z)=k \int \frac{d q}{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} \sqrt{z^{2}+a^{2}}} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
  • Dado: um anel (arco circular) de raio a que foi dividido em duas metades iguais; uma das metades está neutra (sem carga) e a outra tem carga total Q distribuída uniformemente ao longo da metade carregada. O anel está no plano z=0 e o eixo do anel é o eixo \hat{z}. A posição do ponto onde se quer o potencial e o campo é qualquer ponto sobre o eixo do anel, ou seja um ponto com coordenadas (0,0,z).
  • Pergunta (a): determinar o potencial elétrico V num ponto qualquer do eixo do anel.
  • Pergunta (b): determinar o vetor campo elétrico \mathbf{E} no mesmo ponto (no eixo).
  • Pergunta (c): calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica de raio a e altura h, concêntrica com o anel (eixo comum).
Informações relevantes dadas ou que vamos usar imediatamente:
  • A distância de qualquer ponto do eixo (0,0,z) a qualquer ponto da circunferência de raio a (independente do ângulo) é \sqrt{z^{2}+a^{2}}.
  • A constante coulombiana k será escrita como k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • A distribuição de carga ao longo da metade do anel tem densidade linear uniforme \lambda=\dfrac{Q}{(\pi a)}, pois o comprimento da metade do anel é \pi a.

Passo 2

(a) Cálculo do potencial V no eixo: princípios e conta passo a passo.
Aula rápida (princípio usado): o potencial devido a um elemento de carga dq em um ponto do espaço é
dV=k\,\frac{dq}{r},
onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde se calcula o potencial. Por superposição, o potencial total é a integral dessa expressão para toda a distribuição de carga.
No nosso caso o ponto de observação está em (0,0,z) e qualquer elemento de carga do anel está na circunferência de raio a no plano z=0. A distância entre o elemento dq e o ponto é, para qualquer ângulo \theta da circunferência,
r=\sqrt{z^{2}+a^{2}}.
Observação importante (pedagógica): esse r é independente de \theta! Ou seja, todos os elementos de carga do anel estão à mesma distância do ponto sobre o eixo. Isso simplifica muito a integral do potencial.
Então, integrando:
V(z)=k\int \frac{dq}{r}=\frac{k}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\int dq=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.
Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, obtemos a forma final:
\boxed{V(z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.}
Comentário didático rápido: note que essa expressão depende só da carga total Q sobre a circunferência (não de como ela está angularmente distribuída). Isso vale para o valor do potencial no eixo, porque a distância é a mesma para todos os elementos. Entretanto, isso NÃO implica que o campo total no eixo terá necessariamente apenas componente axial — para isso precisamos avaliar o vetor campo.

Passo 3

(b) Cálculo do vetor campo elétrico \mathbf{E} no ponto do eixo: passo a passo e conceito.
Aula rápida (princípio usado): o campo devido a um elemento de carga dq é dado por
d\mathbf{E}=k\,\frac{dq\,\mathbf{r}}{r^{3}},
onde \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto de observação. O campo total é a integral vetorial dessa expressão.
Vamos decompor o campo em componentes: componente axial ( z) e componente no plano do anel (radial/transversal). Considere um elemento de carga em ângulo \theta com coordenadas \mathbf{r}'=a(\cos\theta\,\hat{x}+\sin\theta\,\hat{y}). O ponto de observação é \mathbf{R}=(0,0,z). Então o vetor que vai do elemento até o ponto é
\mathbf{R}-\mathbf{r}' = -a\cos\theta\,\hat{x}-a\sin\theta\,\hat{y}+z\,\hat{z}.
A distância é r=\sqrt{z^{2}+a^{2}} (constante). Assim, o elemento de campo é
d\mathbf{E}=k\,\frac{dq}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\big(-a\cos\theta\,\hat{x}-a\sin\theta\,\hat{y}+z\,\hat{z}\big).
Agora integramos sobre a metade carregada. Antes de inserir os limites, é útil observar uma propriedade geral que facilita a conta:
  • A componente axial (na direção \hat{z}) integra-se simplesmente porque o fator multiplicativo z/(z^{2}+a^{2})^{3/2} é constante e \int dq=Q. Logo a componente axial do campo é
E_{z}=k\,\frac{z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\int dq = k\,\frac{Q\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Ou seja,
\boxed{E_{z}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}.}
Observação didática: esse resultado coincide com -dV/dz calculado a partir do potencial do Passo 2. Isso é consistente: a derivada do potencial ao longo do eixo dá a componente axial do campo. Porém isso NÃO dá as componentes horizontais (no plano xy).
  • As componentes transversais (no plano do anel) depend da soma vetorial dos vetores posição dos elementos de carga. Como aqui a distância r é constante, podemos escrever a componente transversal total como
\mathbf{E}_{\perp}=k\,\frac{-1}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\int \mathbf{r}'_{\perp}\,dq,
onde \mathbf{r}'_{\perp} é o vetor posição do elemento de carga projetado no plano xy (isto é a(\cos\theta,\sin\theta)). A integral \mathbf{p}_{\perp}=\int \mathbf{r}'_{\perp}\,dq é simplesmente o momento dipolar planar (a primeira momenta espacial da carga) — em outras palavras, aponta para o centro de carga da metade carregada e tem módulo proporcional a Q a.
Calculemos explicitamente para a configuração “metade carregada” escolhendo a metade como o semicircunferência \theta\in[0,\pi] (metade superior, que é um caso típico e compatível com o desenho enviado). Então
dq=\lambda\,a\,d\theta,\qquad \lambda=\frac{Q}{\pi a}.
O momento planar é
\mathbf{p}_{\perp}=\int_{0}^{\pi} a(\cos\theta\,\hat{x}+\sin\theta\,\hat{y})\;\lambda a\,d\theta = \lambda a^{2}\Big(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta\,\hat{x}+\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,\hat{y}\Big).
Calcule as integrais simples:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta =0,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta =2.
Logo
\mathbf{p}_{\perp}=\lambda a^{2}(0\,\hat{x}+2\,\hat{y})=\frac{Q}{\pi a}\,a^{2}\,2\,\hat{y}=\frac{2Qa}{\pi}\,\hat{y}.
Substituindo em \mathbf{E}_{\perp},
\mathbf{E}_{\perp} = -k\,\frac{\mathbf{p}_{\perp}}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{2Qa/\pi}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\,\hat{y}.
Portanto, para a escolha “semicírculo de \theta=0 a \theta=\pi” (metade superior) obtemos o campo total no eixo:
\boxed{\mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{Q\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\,\hat{z}\;-\;\dfrac{2Qa/\pi}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\,\hat{y}\right).}
Comentário pedagógico e de uso em prova: a componente axial depende apenas da carga total Q; a componente transversal depende da distribuição angular através do vetor \mathbf{p}_{\perp}=\int \mathbf{r}'_{\perp}dq. Se a metade carregada fosse outra (por exemplo direita \theta\in[-\pi/2,\pi/2]), a componente transversal apontaria na direção radial correspondente (por exemplo \hat{x}) e teria módulo computado do mesmo jeito. No caso especial do anel totalmente carregado (carga distribuída uniformemente em [0,2\pi)), o momento planar \mathbf{p}_{\perp} é zero e, portanto, \mathbf{E}_{\perp}=0: só sobra a componente E_{z} conhecida do anel completo.

Passo 4

(c) Fluxo do campo elétrico através da superfície cilíndrica de raio a e altura h, concêntrica com o anel.
Aula rápida (princípio usado): Lei de Gauss para o campo elétrico diz que o fluxo total através de uma superfície fechada S é igual à carga total dentro do volume V limitada por S dividido por \varepsilon_{0}:
\Phi_{\text{fechado}}=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Vamos construir a superfície fechada composta pela superfície lateral cilíndrica (o que nos pedem) mais as duas tampas circulares (uma em z=+h/2 e outra em z=-h/2). Denotando
\Phi_{\text{lado}}+\Phi_{\text{tampa superior}}+\Phi_{\text{tampa inferior}}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui Q_{\mathrm{int}} é a carga total contida no volume fechado pelo cilindro. Tomamos o cilindro de raio ligeiramente maior que a se necessário (caso a carga caia exatamente na superfície, interpreta-se como limite de raio \to a^{+}). Assim Q_{\mathrm{int}}=Q.
Agora um argumento de simetria essencial: todas as cargas estão no plano z=0. O componente E_{z} do campo tem paridade ímpar em z relativamente a esse plano: para cargas localizadas em z=0 vale E_{z}(r,z)=-E_{z}(r,-z). Consequência: o fluxo através da tampa superior é o oposto do fluxo através da tampa inferior (mesmo módulo, sinais contrários), então
\Phi_{\text{tampa superior}}+\Phi_{\text{tampa inferior}}=0.
Portanto da equação de Gauss para a superfície fechada obtemos
\Phi_{\text{lado}}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Conclusão: o fluxo através da superfície cilíndrica lateral (de raio a e altura h, concêntrica com o anel) é independente de h e vale
\boxed{\Phi_{\text{lado}}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}.}
Observação prática: essa conclusão vale tomando o cilindro como fechando a região contendo a carga Q. Se o anel estiver exatamente na superfície do cilindro, interpretar como limite por fora (raio \to a^{+}) resolve a ambiguidade. Em provas, basta argumentar com Gauss e a paridade de E_{z} para justificar que as tampas se cancelam e que todo o fluxo do total Q atravessa a lateral.

Resposta

V(z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}
\mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{Q\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\,\hat{z}\;-\;\dfrac{\mathbf{p}_{\perp}}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\right)
(para a metade superior \theta\in[0,\pi]: \mathbf{p}_{\perp}=\dfrac{2Qa}{\pi}\,\hat{y}, logo
\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\big(\dfrac{Qz}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\hat{z}-\dfrac{2Qa/\pi}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\hat{y}\big))
\Phi_{\text{lado (cilindro radius }a\text{)}}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}

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