10.36 Para uma solução de um único eletrólito forte, mostre que I_{m}=\frac{1}{2} z_{+}|z-| \nu m_{i}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma solução de um único eletrólito forte, vale a relação
I_{m}=\frac{1}{2} z_{+}|z_{-}| \,\nu\, m_{i}.
Informações/variáveis relevantes que o enunciado fornece (vou explicitar o significado de cada símbolo):
  • I_{m}: intensidade iônica expressa em termos de molalidade (mol/kg de solvente).
  • z_{+}: carga do cátion (número inteiro positivo).
  • z_{-}: carga do ânion (número inteiro negativo); por isso aparece |z_{-}| para indicar o valor absoluto da carga do ânion.
  • m_{i}: molalidade do eletrólito antes da dissociação (mol de eletrólito por kg de solvente).
  • \nu: número total de íons formados por fórmula do eletrólito quando ele se dissocia (isto é, \nu=\nu_{+}+\nu_{-}, onde \nu_{+} e \nu_{-} são os coeficientes estequiométricos dos cátions e ânions, respectivamente).
O objetivo é partir da definição de intensidade iônica e, usando a estequiometria da dissociação e a condição de eletroneutralidade, obter a fórmula solicitada.

Passo 2

Lembrando a definição de intensidade iônica em termos de molalidades: para uma solução que contém várias espécies iônicas, a intensidade iônica I_{m} (na escala de molalidade) é
I_{m}=\frac{1}{2}\sum_{j} m_{j} z_{j}^{2},
onde:
  • m_{j} é a molalidade da espécie iônica j (mol de íon j por kg de solvente),
  • z_{j} é a carga (com sinal) do íon j.
    Explicação curta: a intensidade iônica é uma soma ponderada dos quadrados das cargas, com o fator 1/2 porque cada par íon/contraíon é contado duas vezes na soma sobre espécies (uma vez por espécie).

Passo 3

Considere um único eletrólito forte que se dissocia completamente segundo a estequiometria
\text{eletrólito} \longrightarrow \nu_{+}\, \text{cation}^{z_{+}} + \nu_{-}\, \text{anion}^{z_{-}}.ó
Se a molalidade do eletrólito é m_{i}, então ao dissociar-se cada mol de eletrólito produz \nu_{+} mol de cátions e \nu_{-} mol de ânions. Assim as molalidades dos íons são:
m_{+}=\nu_{+} m_{i},\qquad m_{-}=\nu_{-} m_{i}.
Agora substituímos essas molalidades na definição de intensidade iônica (a solução tem só esses dois tipos de íons), obtendo
I_{m}=\frac{1}{2}\bigl(m_{+} z_{+}^{2} + m_{-} z_{-}^{2}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(\nu_{+} m_{i}\, z_{+}^{2} + \nu_{-} m_{i}\, z_{-}^{2}\bigr) =\frac{1}{2} m_{i}\bigl(\nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{-} z_{-}^{2}\bigr).

Passo 4

Usamos agora a condição de eletroneutralidade da fórmula dissociada: a carga total proveniente dos cátions deve compensar a dos ânions por cada fórmula do eletrólito, portanto
\nu_{+} z_{+} + \nu_{-} z_{-}=0.
Como z_{-} é negativo, podemos escrever |z_{-}|=-z_{-} e reescrever a eletroneutralidade como
\nu_{+} z_{+}=\nu_{-} |z_{-}|.
A partir dessa relação podemos eliminar um dos coeficientes estequiométricos em favor do outro; por exemplo,
\nu_{-}=\nu_{+}\frac{z_{+}}{|z_{-}|}.

Passo 5

Agora manipule a combinação \nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{-} z_{-}^{2} usando a relação acima. Como z_{-}^{2}=|z_{-}|^{2} temos:
\nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{-} z_{-}^{2} = \nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{-} |z_{-}|^{2}.
Substituindo \nu_{-}=\nu_{+}\dfrac{z_{+}}{|z_{-}|} resulta
\nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{+}\frac{z_{+}}{|z_{-}|}\,|z_{-}|^{2} = \nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{+} z_{+} |z_{-}| = \nu_{+} z_{+}\bigl(z_{+}+|z_{-}|\bigr).
Agora reescrevendo usando a eletroneutralidade na outra forma (isto é, \nu_{+} z_{+}=\nu_{-}|z_{-}|) obtém-se igualmente
\nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{-} z_{-}^{2} = z_{+}|z_{-}|\bigl(\nu_{+}+\nu_{-}\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é a que conduz diretamente à fórmula pedida.

Passo 6

Substituindo essa expressão final em I_{m} do Passo 3:
I_{m}=\frac{1}{2} m_{i}\bigl(\nu_{+} z_{+}^{2} + \nu_{-} z_{-}^{2}\bigr) =\frac{1}{2} m_{i}\, z_{+}|z_{-}|\bigl(\nu_{+}+\nu_{-}\bigr).
Definindo \nu=\nu_{+}+\nu_{-} (o número total de íons formados por fórmula do eletrólito), obtemos exatamente
I_{m}=\frac{1}{2}\, z_{+}|z_{-}|\,\nu\, m_{i}.

Passo 7

Para fixar a ideia, dois exemplos rápidos:
  • Eletrólito 1:1 (por exemplo \mathrm{NaCl}): z_{+}=1, |z_{-}|=1, \nu=2. A fórmula dá I_{m}=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot2\cdot m_{i}=m_{i}, que é o resultado conhecido.
  • Eletrólito 2:1 (por exemplo \mathrm{CaCl}_{2}): z_{+}=2, |z_{-}|=1, \nu=3. A fórmula dá I_{m}=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot1\cdot3\cdot m_{i}=3m_{i}, que coincide com a conta direta I_{m}=\tfrac{1}{2}(m\cdot2^{2}+2m\cdot1^{2})=\tfrac{1}{2}(4m+2m)=3m.

Resposta

I_{m}=\frac{1}{2}\, z_{+}\,|z_{-}|\,\nu\, m_{i}

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