10.36 Para uma solução de um único eletrólito forte, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma solução de um único eletrólito forte, vale a relação
Informações/variáveis relevantes que o enunciado fornece (vou explicitar o significado de cada símbolo):
-
: intensidade iônica expressa em termos de molalidade (mol/kg de solvente). -
: carga do cátion (número inteiro positivo). -
: carga do ânion (número inteiro negativo); por isso aparece para indicar o valor absoluto da carga do ânion. -
: molalidade do eletrólito antes da dissociação (mol de eletrólito por kg de solvente). -
: número total de íons formados por fórmula do eletrólito quando ele se dissocia (isto é, , onde e são os coeficientes estequiométricos dos cátions e ânions, respectivamente).
O objetivo é partir da definição de intensidade iônica e, usando a estequiometria da dissociação e a condição de eletroneutralidade, obter a fórmula solicitada.
Passo 2
Lembrando a definição de intensidade iônica em termos de molalidades: para uma solução que contém várias espécies iônicas, a intensidade iônica
(na escala de molalidade) é
onde:
-
é a molalidade da espécie iônica (mol de íon por kg de solvente), -
é a carga (com sinal) do íon .
Explicação curta: a intensidade iônica é uma soma ponderada dos quadrados das cargas, com o fatorporque cada par íon/contraíon é contado duas vezes na soma sobre espécies (uma vez por espécie).
Passo 3
Considere um único eletrólito forte que se dissocia completamente segundo a estequiometria
Se a molalidade do eletrólito é
, então ao dissociar-se cada mol de eletrólito produz
mol de cátions e
mol de ânions. Assim as molalidades dos íons são:
Agora substituímos essas molalidades na definição de intensidade iônica (a solução tem só esses dois tipos de íons), obtendo
Passo 4
Usamos agora a condição de eletroneutralidade da fórmula dissociada: a carga total proveniente dos cátions deve compensar a dos ânions por cada fórmula do eletrólito, portanto
Como
é negativo, podemos escrever
e reescrever a eletroneutralidade como
A partir dessa relação podemos eliminar um dos coeficientes estequiométricos em favor do outro; por exemplo,
Passo 5
Agora manipule a combinação
usando a relação acima. Como
temos:
Substituindo
resulta
Agora reescrevendo usando a eletroneutralidade na outra forma (isto é,
) obtém-se igualmente
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é a que conduz diretamente à fórmula pedida.
Passo 6
Substituindo essa expressão final em
do Passo 3:
Definindo
(o número total de íons formados por fórmula do eletrólito), obtemos exatamente
Passo 7
Para fixar a ideia, dois exemplos rápidos:
- Eletrólito
(por exemplo ): , , . A fórmula dá , que é o resultado conhecido. - Eletrólito
(por exemplo ): , , . A fórmula dá , que coincide com a conta direta .