10.41 Um giroscópio estabilizador. O giroscópio estabilizador de um navio é um disco sólido de massa igual a 60.000 kg ; seu raio é igual a
, e ele gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular de
. a) Qual é o tempo necessário para ele atingir essa velocidade, partindo do repouso, com uma potência de entrada de
? b) Ache o torque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com uma taxa de inclinação de
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente os números que aparecem):
- massa do disco:
. - raio do disco:
. - velocidade de rotação desejada:
. - potência de entrada constante:
.
As perguntas são:
(a) Qual o tempo necessário para o disco atingir essa velocidade, partindo do repouso, com a potência dada?
(b) Qual o torque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão (oscilar em um plano vertical) com uma “taxa de inclinação” igual a(interpreto isto abaixo).
Observação sobre a interpretação de (b): o enunciado diz "taxa de inclinação de
". Vou interpretar isso como uma taxa de variação angular da direção do eixo igual a
por segundo, isto é
. Se o enunciado tivesse intenção diferente (por exemplo dado em unidades angulares), o valor do torque mudaria; esta hipótese será usada adiante e será explicitada quando for aplicada.
Passo 2
Vamos calcular o momento de inércia do disco sólido em torno do seu eixo simétrico (eixo vertical). Fórmula conhecida:
onde
é o momento de inércia,
é a massa e
é o raio. Uma pequena explicação didática: o momento de inércia é a “inércia rotacional” — quanto maior
, mais difícil é mudar a rotação. Para um disco maciço e homogêneo girando ao redor do seu eixo central, a distribuição de massa dá essa constante
.
Agora substituímos os números:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 3
Precisamos da velocidade angular
em unidades de
. Conversão de rotações por minuto para rad/s:
Fazendo as contas:
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Para achar o tempo com potência constante, primeiro calculamos a energia cinética rotacional final do disco. Fórmula:
onde
é a energia rotacional (análogo de
para translação).
Substituindo
e
:
Calcule
:
Multiplicando:
e metade disso:
Arredondando de forma prática:
Passo 5
A potência média constante
está ligada à energia pelo balanço
Aqui
é a energia que foi dada ao disco, igual a
(partiu do repouso). Então:
Calculando:
Converter para minutos:
Resumo prático:
Passo 6
Agora precisamos do momento angular do disco em rotação, pois o torque necessário para mudar a direção do momento angular depende dele. Para rotação em torno do eixo simétrico:
e a magnitude é
Substituindo:
Observação numérica simpática:
(que é aproximadamente
).
Passo 7
Relação entre torque e taxa de variação da direção do momento angular (a dica física): o torque resultante é a taxa de variação do vetor momento angular,
Se a magnitude de
permanece praticamente constante (giro rápido, sem trocar velocidade de giro) e só mudamos a direção de
com uma velocidade angular
(a “taxa de inclinação” em rad/s), então a magnitude do torque é
onde
é o ângulo entre o vetor de rotação da direção (vetor
) e
. No caso típico de precessão onde o vetor que descreve a rotação da direção é perpendicular a
, tem-se
e portanto
Explicando com calma: imagine que o vetor
descreve um movimento circular de pequena abertura; o seu extremo percorre uma circunferência com velocidade linear proporcional a
; a mudança por segundo desse vetor é o torque.
Lembrando a interpretação feita no Passo 1, usamos
(isto é,
). Se esse número fosse para ser outro (por ex. graus por segundo), a conta deveria usar a conversão apropriada.
Passo 8
Calcule o torque:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando para duas ou três cifras significativas:
Passo 9
Breiro resumo e checagem rápida (sanity check): o tempo da parte (a) ficou da ordem de dezenas de minutos, o que faz sentido dada a grande energia rotacional e a potência moderada. O torque da parte (b) tem ordem de
, que é grande — também esperado para mudar a direção de um momento angular de milhões de unidades.
Resposta
(a)
(b)
(b)