10.41 Um giroscópio estabilizador. O giroscópio estabilizador de um navio é um disco sólido de massa igual a 60.000 kg ; seu raio é igual a 2,00 \mathrm{~m}, e ele gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular de 500 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. a) Qual é o tempo necessário para ele atingir essa velocidade, partindo do repouso, com uma potência de entrada de 7,46 \times 10^{4} \mathrm{~W} ? b) Ache o torque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com uma taxa de inclinação de 1,00 \% \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente os números que aparecem):
  • massa do disco: m=60000\\ \mathrm{kg}.
  • raio do disco: R=2,00\\ \mathrm{m}.
  • velocidade de rotação desejada: 500\\ \mathrm{rev/min}.
  • potência de entrada constante: P=7,46\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
    As perguntas são:
    (a) Qual o tempo necessário para o disco atingir essa velocidade, partindo do repouso, com a potência dada?
    (b) Qual o torque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão (oscilar em um plano vertical) com uma “taxa de inclinação” igual a 1{,}00\\ \%\\ \mathrm{s^{-1}} (interpreto isto abaixo).
Observação sobre a interpretação de (b): o enunciado diz "taxa de inclinação de 1{,}00\\ \%\\ \mathrm{s}". Vou interpretar isso como uma taxa de variação angular da direção do eixo igual a 1{,}00\\ \% por segundo, isto é \dot{\theta}=0{,}01\\ \mathrm{s^{-1}}. Se o enunciado tivesse intenção diferente (por exemplo dado em unidades angulares), o valor do torque mudaria; esta hipótese será usada adiante e será explicitada quando for aplicada.

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia do disco sólido em torno do seu eixo simétrico (eixo vertical). Fórmula conhecida:
I=\frac{1}{2}\,mR^{2},
onde I é o momento de inércia, m é a massa e R é o raio. Uma pequena explicação didática: o momento de inércia é a “inércia rotacional” — quanto maior I, mais difícil é mudar a rotação. Para um disco maciço e homogêneo girando ao redor do seu eixo central, a distribuição de massa dá essa constante \tfrac{1}{2}.
Agora substituímos os números:
I=\frac{1}{2}\cdot(60000)\cdot(2{,}00)^{2}.
Calcule passo a passo:
(2{,}00)^{2}=4{,}00, \qquad 60000\cdot4{,}00=240000, \qquad \frac{1}{2}\cdot240000=120000.
Logo
I=120000\\ \mathrm{kg\;m^{2}}.

Passo 3

Precisamos da velocidade angular \omega em unidades de \mathrm{rad/s}. Conversão de rotações por minuto para rad/s:
\omega=\left(500\\ \frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}}\right)\cdot\frac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{1\\ \mathrm{rev}}\cdot\frac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}}.
Fazendo as contas:
\omega=\frac{500\cdot2\pi}{60}=\frac{500}{60}\cdot2\pi=8{,}333333\ldots\cdot2\pi\approx52{,}35987756\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando razoavelmente:
\omega\approx52{,}36\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Para achar o tempo com potência constante, primeiro calculamos a energia cinética rotacional final do disco. Fórmula:
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\,I\omega^{2},
onde K_{\text{rot}} é a energia rotacional (análogo de \tfrac{1}{2}mv^{2} para translação).
Substituindo I e \omega:
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\cdot120000\cdot(52{,}35987756)^{2}.
Calcule \omega^{2}:
\omega^{2}\approx(52{,}35987756)^{2}\approx2741{,}556.
Multiplicando:
120000\cdot2741{,}556\approx3{,}2898672\times10^{8},
e metade disso:
K_{\text{rot}}\approx1{,}6449336\times10^{8}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma prática:
K_{\text{rot}}\approx1{,}64\times10^{8}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

A potência média constante P está ligada à energia pelo balanço
P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\quad\Rightarrow\quad \Delta t=\frac{\Delta E}{P}.
Aqui \Delta E é a energia que foi dada ao disco, igual a K_{\text{rot}} (partiu do repouso). Então:
t=\frac{K_{\text{rot}}}{P}=\frac{1{,}6449336\times10^{8}\\ \mathrm{J}}{7{,}46\times10^{4}\\ \mathrm{W}}.
Calculando:
t\approx2{,}205665\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
t\approx\frac{2205{,}665\\ \mathrm{s}}{60}\approx36{,}761\\ \mathrm{min}\approx36{,}8\\ \mathrm{min}.
Resumo prático:
t\approx2{,}21\times10^{3}\\ \mathrm{s}\quad(\approx36{,}8\\ \mathrm{min}).

Passo 6

Agora precisamos do momento angular do disco em rotação, pois o torque necessário para mudar a direção do momento angular depende dele. Para rotação em torno do eixo simétrico:
\vec{L}=I\vec{\omega},
e a magnitude é
L=I\omega.
Substituindo:
L=120000\cdot52{,}35987756\approx6{,}2831853\times10^{6}\\ \mathrm{kg\;m^{2}/s}.
Observação numérica simpática: L\approx6{,}283\times10^{6}\\ \mathrm{kg\;m^{2}/s} (que é aproximadamente 2\pi\times10^{6}).

Passo 7

Relação entre torque e taxa de variação da direção do momento angular (a dica física): o torque resultante é a taxa de variação do vetor momento angular,
\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}.
Se a magnitude de L permanece praticamente constante (giro rápido, sem trocar velocidade de giro) e só mudamos a direção de \vec{L} com uma velocidade angular \Omega_{\text{inc}} (a “taxa de inclinação” em rad/s), então a magnitude do torque é
\tau= \Omega_{\text{inc}}\,L\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre o vetor de rotação da direção (vetor \vec{\Omega}_{\text{inc}}) e \vec{L}. No caso típico de precessão onde o vetor que descreve a rotação da direção é perpendicular a \vec{L}, tem-se \sin\varphi=1 e portanto
\tau=\Omega_{\text{inc}}\,L.
Explicando com calma: imagine que o vetor L descreve um movimento circular de pequena abertura; o seu extremo percorre uma circunferência com velocidade linear proporcional a \Omega_{\text{inc}}L; a mudança por segundo desse vetor é o torque.
Lembrando a interpretação feita no Passo 1, usamos
\Omega_{\text{inc}}=0{,}01\\ \mathrm{s^{-1}}.
(isto é, 1{,}00\\ \%\\ \mathrm{s^{-1}}=0{,}01\\ \mathrm{s^{-1}}). Se esse número fosse para ser outro (por ex. graus por segundo), a conta deveria usar a conversão apropriada.

Passo 8

Calcule o torque:
\tau=\Omega_{\text{inc}}\,L=0{,}01\cdot6{,}2831853\times10^{6}.
Fazendo a multiplicação:
\tau\approx6{,}2831853\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando para duas ou três cifras significativas:
\tau\approx6{,}28\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 9

Breiro resumo e checagem rápida (sanity check): o tempo da parte (a) ficou da ordem de dezenas de minutos, o que faz sentido dada a grande energia rotacional e a potência moderada. O torque da parte (b) tem ordem de 10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}, que é grande — também esperado para mudar a direção de um momento angular de milhões de unidades.

Resposta

(a) t\approx2{,}21\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx36{,}8\\ \mathrm{min}.
(b) \tau\approx6{,}28\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Exercícios relacionados