10.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo que
, onde
é uma constante positiva com unidades
. a) Use a Equação (10.23) para mostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando ela girou de um ângulo
é dado por
. b) Use a Equação (9.3) para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de um ângulo
. c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou de um ângulo
. O teorema do trabalhoenergia, Equação (10.25) é obedecido? Explique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Dados fornecidos:
- A posição angular da roda é
, com (unidade ). - A roda parte do repouso (logo a velocidade angular inicial é zero).
- O momento de inércia da roda em torno do centro de massa é
(vou usar para esse momento de inércia).
- A posição angular da roda é
- O que se pede:
a) Usar a Equação (10.23) para mostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante quando a roda girou um ânguloé .
b) Usar a Equação (9.3) para calcular a velocidade angularda roda quando ela girou um ângulo .
c) Usar o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou um ânguloe verificar se o teorema do trabalho-energia (Equação (10.25)) é obedecido.
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando o que significa cada símbolo):
- A Equação (10.23) que o enunciado pede para usar expressa o trabalho elemental realizado por um torque quando a partícula (ou corpo rígido) gira um pequeno deslocamento angular. Em forma integral:
onde
é o torque resultante (em
) e
é o deslocamento angular elemental (em rad). Essa fórmula diz: para cada pedaço de rotação
o trabalho é
; somando (integrando) de
até
obtém-se o trabalho total
.
- A relação entre torque resultante e aceleração angular é a versão rotacional da segunda lei de Newton:
onde
é a aceleração angular (
) e
é o momento de inércia em torno do centro de massa. Essa equação é usada para substituir
em termos de
.
- A Equação (9.3) (conforme o enunciado pede usar) é a relação que define a velocidade angular:
onde
é a velocidade angular instantânea.
Vou calcular
e
a partir de
e depois reescrevê-los em função de
(porque a integral de
será em relação a
).
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
- Diferenciando
em relação a para obter (usando , Equação (9.3)):
Explicação rápida: derivada de
é
; o fator
é constante.
- Diferenciando
para obter :
Explicação: derivada de
é
, multiplicando por
dá
.
Passo 4
Expressar
em função de
(para depois escrever
como função de
).
- Da relação
isolamos :
Isso está bem definido porque
e
na rotação a partir do repouso.
- Substituir
em para obter em função de :
Detalhe do passo:
.
Passo 5
Calcular o torque resultante
em função de
usando
.
- Substituindo
:
Interpretação: à medida que a roda gira, a aceleração angular muda e, se um torque líquido está produzindo essa aceleração, o torque necessário varia como
.
Passo 6
Calcular o trabalho
realizado pelo torque quando a roda gira de
até um ângulo
. Usamos
.
- Substituindo
:
- Executando a integral (fórmula:
):
- Simplificando os fatores:
Isso mostra exatamente a expressão pedida na parte (a).
Passo 7
Resolver a parte (b): escrever
em função de
.
- Já tínhamos
e . Substituindo:
Detalhe do cálculo:
.
Passo 8
Resolver a parte (c): energia cinética rotacional após girar o ângulo
.
- A energia cinética rotacional é
- Substituindo
:
- Comparando com o trabalho calculado na parte (a), vemos que
Como a roda partiu do repouso (
), o trabalho realizado pelo torque resultante iguala precisamente a variação da energia cinética (
). Portanto o teorema do trabalho-energia (Equação (10.25)) é obedecido: o trabalho líquido realizado sobre o corpo é igual ao aumento da energia cinética.
Resposta
(a)
(b)
(c)
. Sim — o teorema do trabalho-energia é obedecido, pois
(a roda partiu do repouso, então
).