10.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo que \theta=b t^{3}, onde b é uma constante positiva com unidades \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3}. a) Use a Equação (10.23) para mostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando ela girou de um ângulo \theta é dado por \frac{9}{2} I_{\mathrm{cm}} b^{2 / 3} \theta^{4 / 3}. b) Use a Equação (9.3) para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de um ângulo \theta. c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou de um ângulo \theta. O teorema do trabalhoenergia, Equação (10.25) é obedecido? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • A posição angular da roda é \theta = b t^{3}, com b>0 (unidade \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{3}).
    • A roda parte do repouso (logo a velocidade angular inicial é zero).
    • O momento de inércia da roda em torno do centro de massa é I_{\mathrm{cm}} (vou usar \,I_{\mathrm{cm}}\, para esse momento de inércia).
  • O que se pede:
    a) Usar a Equação (10.23) para mostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante quando a roda girou um ângulo \theta é \dfrac{9}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}.
    b) Usar a Equação (9.3) para calcular a velocidade angular \omega da roda quando ela girou um ângulo \theta.
    c) Usar o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou um ângulo \theta e verificar se o teorema do trabalho-energia (Equação (10.25)) é obedecido.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando o que significa cada símbolo):
  • A Equação (10.23) que o enunciado pede para usar expressa o trabalho elemental realizado por um torque quando a partícula (ou corpo rígido) gira um pequeno deslocamento angular. Em forma integral:
W=\int \tau\,d\theta,
onde \tau é o torque resultante (em \mathrm{N\cdot m}) e d\theta é o deslocamento angular elemental (em rad). Essa fórmula diz: para cada pedaço de rotação d\theta o trabalho é \tau\,d\theta; somando (integrando) de \theta=0 até \theta obtém-se o trabalho total W.
  • A relação entre torque resultante e aceleração angular é a versão rotacional da segunda lei de Newton:
\tau_{\text{net}}=I_{\mathrm{cm}}\,\alpha,
onde \alpha é a aceleração angular ( \alpha=d\omega/dt) e I_{\mathrm{cm}} é o momento de inércia em torno do centro de massa. Essa equação é usada para substituir \tau em termos de \alpha.
  • A Equação (9.3) (conforme o enunciado pede usar) é a relação que define a velocidade angular:
\omega=\frac{d\theta}{dt},
onde \omega é a velocidade angular instantânea.
Vou calcular \omega(t) e \alpha(t) a partir de \theta(t)=b t^{3} e depois reescrevê-los em função de \theta (porque a integral de W=\int \tau\,d\theta será em relação a \theta).

Passo 3

Calcular \omega(t) e \alpha(t) a partir de \theta(t)=b t^{3}.
  • Diferenciando \theta(t) em relação a t para obter \omega(t) (usando \omega=d\theta/dt, Equação (9.3)):
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(b t^{3}\bigr)=3 b t^{2}.
Explicação rápida: derivada de t^{3} é 3t^{2}; o fator b é constante.
  • Diferenciando \omega(t) para obter \alpha(t):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(3 b t^{2}\bigr)=6 b t.
Explicação: derivada de t^{2} é 2t, multiplicando por 3b 6 b t.

Passo 4

Expressar t em função de \theta (para depois escrever \alpha como função de \theta).
  • Da relação \theta=b t^{3} isolamos t:
t=\left(\frac{\theta}{b}\right)^{1/3}.
Isso está bem definido porque b>0 e \theta\ge 0 na rotação a partir do repouso.
  • Substituir t em \alpha(t)=6 b t para obter \alpha em função de \theta:
\alpha(\theta)=6 b\left(\frac{\theta}{b}\right)^{1/3}=6\,b^{2/3}\,\theta^{1/3}.
Detalhe do passo: b\cdot b^{-1/3}=b^{2/3}.

Passo 5

Calcular o torque resultante \tau em função de \theta usando \tau=I_{\mathrm{cm}}\,\alpha.
  • Substituindo \alpha(\theta):
\tau(\theta)=I_{\mathrm{cm}}\;\alpha(\theta)=I_{\mathrm{cm}}\;6\,b^{2/3}\,\theta^{1/3}=6\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{1/3}.
Interpretação: à medida que a roda gira, a aceleração angular muda e, se um torque líquido está produzindo essa aceleração, o torque necessário varia como \theta^{1/3}.

Passo 6

Calcular o trabalho W realizado pelo torque quando a roda gira de \theta=0 até um ângulo \theta. Usamos W=\int_{0}^{\theta}\tau(\theta')\,d\theta'.
  • Substituindo \tau(\theta'):
W=\int_{0}^{\theta}6\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,{\theta'}^{1/3}\,d\theta'.
  • Executando a integral (fórmula: \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1)):
W=6\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\left[\frac{{\theta'}^{4/3}}{4/3}\right]_{0}^{\theta} =6\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\cdot\frac{3}{4}\,\theta^{4/3}.
  • Simplificando os fatores:
W=\frac{18}{4}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}=\frac{9}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}.
Isso mostra exatamente a expressão pedida na parte (a).

Passo 7

Resolver a parte (b): escrever \omega em função de \theta.
  • Já tínhamos \omega(t)=3 b t^{2} e t=(\theta/b)^{1/3}. Substituindo:
\omega(\theta)=3 b\left(\frac{\theta}{b}\right)^{2/3}=3\,b^{1/3}\,\theta^{2/3}.
Detalhe do cálculo: b\cdot b^{-2/3}=b^{1/3}.

Passo 8

Resolver a parte (c): energia cinética rotacional após girar o ângulo \theta.
  • A energia cinética rotacional é
K=\frac{1}{2}I_{\mathrm{cm}}\,\omega^{2}.
  • Substituindo \omega(\theta)=3\,b^{1/3}\,\theta^{2/3}:
K=\frac{1}{2}I_{\mathrm{cm}}\left(3\,b^{1/3}\,\theta^{2/3}\right)^{2} =\frac{1}{2}I_{\mathrm{cm}}\cdot 9\,b^{2/3}\,\theta^{4/3} =\frac{9}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}.
  • Comparando com o trabalho calculado na parte (a), vemos que
W=\frac{9}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}=K.
Como a roda partiu do repouso ( K_{\text{inicial}}=0), o trabalho realizado pelo torque resultante iguala precisamente a variação da energia cinética ( W=\Delta K). Portanto o teorema do trabalho-energia (Equação (10.25)) é obedecido: o trabalho líquido realizado sobre o corpo é igual ao aumento da energia cinética.

Resposta

(a) \displaystyle W=\frac{9}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}
(b) \displaystyle \omega=3\,b^{1/3}\,\theta^{2/3}
(c) \displaystyle K=\frac{9}{2}\,I_{\mathrm{cm}}\,b^{2/3}\,\theta^{4/3}. Sim — o teorema do trabalho-energia é obedecido, pois W=\Delta K (a roda partiu do repouso, então W=K).

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