10.46 Um volante com diâmetro de 0,600 m é pivotado sobre um eixo horizontal. Uma corda é enrolada na periferia do volante e puxada com uma força estacionária de 40,0 \mathrm{~N}. O volante começa a girar a partir do repouso, e um comprimento da corda igual a 5,00 \mathrm{~m} é desenrolado em 2,00 \mathrm{~s}. a) Qual é a aceleração angular do volante? b) Qual é a sua velocidade angular final? c) Qual é a sua

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei todos os números do enunciado) e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do volante: D=0{,}600\\ \mathrm{m}.
  • Força estacionária aplicada na corda: F=40{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Comprimento de corda desenrolado: s=5{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Tempo para desenrolar esse comprimento: t=2{,}00\\ \mathrm{s}.
  • O volante parte do repouso.
O enunciado pede:
a) Qual é a aceleração angular do volante?
b) Qual é a sua velocidade angular final?
c) O enunciado está cortado na parte (c) — não foi enviada a pergunta completa. Portanto, só posso resolver as partes (a) e (b). Para (c) preciso que a continuação da pergunta seja fornecida; sem isso não há como responder (não vou inventar o que falta).
Observação útil já nesta etapa: o raio do volante é
r=\frac{D}{2}=\frac{0{,}600}{2}=0{,}300\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo as relações físicas que vamos usar (uma mini-aula bem prática).
Quando a corda desenrola sem escorregar, o deslocamento linear da corda s está relacionado ao deslocamento angular do volante \theta por
s=r\,\theta,
onde \theta está em radianos e r é o raio.
As equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado valem para o ponto da periferia do volante (velocidade tangencial v, aceleração tangencial a_t). Em particular, partindo do repouso e com aceleração constante,
s=\tfrac{1}{2}\,a_t\,t^2.
Também existe a ligação entre grandezas lineares e angulares:
a_t = \alpha\,r, \qquad v = \omega\,r,
onde \alpha é a aceleração angular e \omega a velocidade angular.
Portanto, se encontrarmos a aceleração tangencial a_t usando a fórmula do movimento linear, podemos obter a aceleração angular por
\alpha=\frac{a_t}{r}.

Passo 3

Calcular a aceleração tangencial a_t usando s=\tfrac{1}{2}a_t t^2. Isolando a_t,
a_t=\frac{2s}{t^2}.
Substituindo os valores (peguei s e t do enunciado):
a_t=\frac{2\cdot 5{,}00}{(2{,}00)^2}=\frac{10{,}0}{4{,}00}=2{,}50\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário rápido e motivador: repare que a força F informada no enunciado nem precisou entrar aqui — para (a) e (b) só foi necessário o deslocamento s e o tempo t, porque com aceleração constante a cinemática já determina \alpha e \omega. A força seria necessária se a pergunta pedisse torque, momento de inércia ou potência.

Passo 4

Agora convertemos a_t em aceleração angular \alpha pela relação \alpha=a_t/r. Usando r=0{,}300\\ \mathrm{m} (do Passo 1) e o a_t do Passo 3:
\alpha=\frac{2{,}50}{0{,}300}=8{,}333\ldots\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Arredondando com 3 algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos
\alpha=8{,}33\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 5

Checagem alternativa (mesma ideia, outra via): a partir de \theta = s/r podemos usar a equação rotacional análoga a s=\tfrac{1}{2}a_t t^2, que é
\theta=\tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2.
Calculemos \theta:
\theta=\frac{s}{r}=\frac{5{,}00}{0{,}300}=16{,}666\ldots\\ \text{rad}.
Isolando \alpha em \theta=\tfrac{1}{2}\alpha t^2:
\alpha=\frac{2\theta}{t^2}=\frac{2\cdot 16{,}666\ldots}{(2{,}00)^2}=\frac{33{,}333\ldots}{4{,}00}=8{,}333\ldots\\ \mathrm{rad/s^{2}},
mesmo valor obtido antes — bom sinal.

Passo 6

Calcular a velocidade angular final \omega_f. Partindo do repouso com aceleração angular constante, vale
\omega_f=\alpha\,t.
Substituindo \alpha=8{,}333\ldots\\ \mathrm{rad/s^{2}} e t=2{,}00\\ \mathrm{s}:
\omega_f=8{,}333\ldots\times 2{,}00=16{,}666\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\omega_f=16{,}7\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Resumo físico curto (para fixar): a corda desenrolou 5{,}00\\ \mathrm{m} em 2{,}00\\ \mathrm{s} com aceleração linear constante 2{,}50\\ \mathrm{m/s^{2}}. Como o raio é 0{,}300\\ \mathrm{m}, isso corresponde a uma aceleração angular de 8{,}33\\ \mathrm{rad/s^{2}} e a uma velocidade angular final de 16{,}7\\ \mathrm{rad/s}. A pergunta (c) não foi completa no enunciado, então não foi possível responder (c).

Resposta

a) \alpha=8{,}33\\ \mathrm{rad/s^{2}}
b) \omega_f=16{,}7\\ \mathrm{rad/s}
c) Não é possível determinar: o enunciado da alínea (c) está incompleto (falta a pergunta).

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