[10.6] Determine a excentricidade, identifique a cônica, dê a equação de uma diretriz e faça um esboço da cônica:
r =35-6 sen(theta)

Passo 1

O enunciado dá a equação polar da cônica r=35-6sintheta. O conteúdo é cônicas em coordenadas polares: precisamos extrair a excentricidade e, identificar o tipo de cônica, achar a diretriz e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para cônicas em coordenadas polares usamos a forma padrão
r=ed1pm esinthetaou r=ed1pm ecostheta
Aqui temos
r=35-6sintheta=35l(1-tfrac65sinthetar)
Logo podemos reescrever
r=3/51-tfrac65sintheta
Comparando com r=tfraced1-esintheta vemos que
e=tfrac65 e ed=tfrac35.

Passo 3

Como ed=tfrac35 e e=tfrac65, tiramos
d=ede=3/56/5=36=tfrac12

Passo 4

A excentricidade é e=6/5>1, portanto a cônica é uma hipérbole. Na teoria, e>1 indica hipérbole.

Passo 5

Para a forma r=tfraced1-esintheta a diretriz correspondente é a reta
y=d
Então uma diretriz é y=tfrac12.

Passo 6

No esboço colocamos o foco na origem e a diretriz horizontal y=tfrac12. As assíntotas ocorrem quando o denominador zera, ou seja sintheta=5/6, isto é thetaapprox56,4^circ e thetaapprox123,6^circ. Desenhamos dois ramos da hipérbole simétricos em relação ao eixo vertical: um acima do foco (entre as assíntotas em 56,4^circ e 123,6^circ) e outro abaixo (graças a r<0 quando sintheta>5/6, que vira o ponto em +180^circ).

Resposta

e=tfrac65, é uma hipérbole, e uma diretriz é y=tfrac12

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