A relação entre a saída y(t) e a entrada x(t) de um SLIT é dada pela seguinte equação:
y(t)=5 integral-infty^t x(tau) d tau+integral-infty^t y(tau) d tau
Determine a função de transferência H(s) desse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação entre a saída $ y(t) $ e a entrada $ x(t) $ de um sistema que é dada por uma equação envolvendo integrais. O conteúdo que vamos usar aqui é de Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações no tempo para o domínio da frequência. Precisamos achar a função de transferência $ H(s) $, que basicamente mostra como o sistema responde em frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma integral de $ x(\tau) $ de x(tau) até $ t $ é $ \frac{X(s)}{s} $, onde $ X(s) $ é a Transformada de $ x(t) $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
-infty

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar $ Y(s) $. Vamos trazer todos os termos que contêm $ Y(s) $ para o mesmo lado:
Y(s)
Fatorando $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
1 - 1s = s - 1s
Então, substituindo de volta na equação:
Y(s) cdot s - 1s = 5 cdot X(s)s

Passo 5

Agora, podemos dividir ambos os lados por $ \frac{s - 1}{s} $ para isolar $ Y(s) $:
s - 1s

Passo 6

Para encontrar a função de transferência $ H(s) $, que é a relação $ \frac{Y(s)}{X(s)} $, basta dividir ambos os lados por $ X(s) $:
H(s)

Resposta

A função de transferência é dada por:
H(s) = 5s - 1

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