A relação entre a saída
e a entrada
de um SLIT é dada pela seguinte equação:
Determine a função de transferência
desse sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação entre a saída $ y(t) $ e a entrada $ x(t) $ de um sistema que é dada por uma equação envolvendo integrais. O conteúdo que vamos usar aqui é de Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações no tempo para o domínio da frequência. Precisamos achar a função de transferência $ H(s) $, que basicamente mostra como o sistema responde em frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma integral de $ x(\tau) $ de
até $ t $ é $ \frac{X(s)}{s} $, onde $ X(s) $ é a Transformada de $ x(t) $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar $ Y(s) $. Vamos trazer todos os termos que contêm $ Y(s) $ para o mesmo lado:
Fatorando $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Então, substituindo de volta na equação:
Passo 5
Agora, podemos dividir ambos os lados por $ \frac{s - 1}{s} $ para isolar $ Y(s) $:
Passo 6
Para encontrar a função de transferência $ H(s) $, que é a relação $ \frac{Y(s)}{X(s)} $, basta dividir ambos os lados por $ X(s) $:
Resposta
A função de transferência é dada por: