8.2 Um canal retangular com largura de 8 m transporta uma vazão de 40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determinar a profundidade e a velocidade crítica.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • Largura do canal (retangular): b=8\\ \mathrm{m}.
    • Vazão volumétrica: Q=40\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Aceleração da gravidade: usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • Perguntas:
    1. Determinar a profundidade crítica y_c (profundidade para a qual o escoamento é crítico).
    2. Determinar a velocidade crítica V_c correspondente.

Passo 2

Entendendo o que é “escoamento crítico” e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
  • Escoamento em canal aberto é dito crítico quando o número de Froude vale 1. O número de Froude Fr mede a relação entre a velocidade do escoamento e a velocidade de ondas gravitacionais superficiais:
    Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}}.
    Aqui:
    • V é a velocidade média do escoamento (m/s).
    • y é a profundidade do escoamento (m).
    • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • Condição de escoamento crítico:
    Fr=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{V}{\sqrt{g\,y}}=1 \quad\Longrightarrow\quad V=\sqrt{g\,y}.
    Essa é uma relação muito útil: em profundidade crítica, a velocidade média V_c é igual a \sqrt{g\,y_c}.

Passo 3

Relacionando velocidade, vazão e área para um canal retangular.
  • Área da seção molhada de um canal retangular:
    A=b\,y,
    onde b é a largura e y a profundidade.
  • Velocidade média em função da vazão:
    V=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{b\,y}.
  • Em regime crítico substituímos V por \sqrt{g\,y}. Então:
    \frac{Q}{b\,y}=\sqrt{g\,y}.

Passo 4

Derivando a expressão explícita para a profundidade crítica y_c no canal retangular (passo-algebra passo a passo).
  • Partindo de \frac{Q}{b\,y_c}=\sqrt{g\,y_c},elevamos ao quadrado para eliminar a raiz: \left(\frac{Q}{b\,y_c}\right)^2 = g\,y_c.
  • Desenvolvendo: \frac{Q^2}{b^2\,y_c^2} = g\,y_c.
  • Multiplicando ambos os lados por y_c^2: Q^2 = g\,b^2\,y_c^3.
  • Isolando y_c: y_c=\left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3}.Essa é a fórmula que vamos usar: profundidade crítica em canal retangular em função de Q, b e g.

Passo 5

Cálculo numérico de y_c com os valores do enunciado — contas detalhadas para você reproduzir à mão.
  • Primeiro calcule Q^2 e b^2: Q^2=(40)^2=1600\quad\text{e}\quad b^2=(8)^2=64.
  • Calcule o denominador g\,b^2: g\,b^2 = 9,81 \times 64 = 627,84.
  • Forme a razão: \frac{Q^2}{g\,b^2}=\frac{1600}{627,84}\approx 2,549195\ldots
  • Agora a raiz cúbica: y_c=\left(2,549195\ldots\right)^{1/3}\approx 1,366\\ \mathrm{m}.Observação sobre o cálculo da raiz cúbica: pode-se estimar por tentativa (1,36^3, 1,37^3) ou usar calculadora; aqui o valor aproximado com três casas decimais é y_c\approx 1,366\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da velocidade crítica V_c. Duas formas equivalentes (vou mostrar as duas para você aprender):
  • Forma 1, usando V_c=\sqrt{g\,y_c}:
    V_c=\sqrt{9,81\times 1,366}\approx \sqrt{13,4001\ldots}\approx 3,660\\ \mathrm{m/s}.
  • Forma 2, usando V_c=\dfrac{Q}{b\,y_c} (deve dar o mesmo):
    V_c=\frac{40}{8\times 1,366}=\frac{40}{10,928}\approx 3,660\\ \mathrm{m/s}.
As duas formas coincidem (conferência útil na prova).

Passo 7

Resumo final e checagem rápida (como validar durante a prova).
  • Checagem: calcule o número de Froude com os resultados: Fr=\frac{V_c}{\sqrt{g\,y_c}}=\frac{3,660}{\sqrt{9,81\times 1,366}}\approx 1,0,confirmando que o escoamento está na condição crítica.

Resposta

y_c=1,366\\ \mathrm{m}
V_c=3,660\\ \mathrm{m/s}

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