10.71 Um bocal de incêndio está conectado a uma mangueira de lona de 300 ft de comprimento e 3 in de diâmetro (com e=0,001 \mathrm{ft} ). Água de um hidrante é fornecida a 50 psig para uma bomba auxiliar na carroceria do carro de bombeiros. Nas condições de operação de projeto, a pressão na entrada do bocal é 100 psig , e a perda de carga ao longo da mangueira é de 33 psig para cada 100 ft de comprimento. Calcule a vazão de projeto e a máxima velocidade na saída do bocal. Selecione uma bomba apropriada

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo:
  • Comprimento da mangueira: \;300\\ \text{ft}.
  • Diâmetro interno da mangueira: \;3\\ \text{in}.
  • Rugosidade absoluta da mangueira: \;e=0,001\\ \text{ft} (informação fornecida pelo enunciado).
  • Pressão fornecida pelo hidrante à bomba: \;50\\ \text{psig}.
  • Pressão na entrada do bocal (condição de projeto): \;100\\ \text{psig}.
  • Perda de carga ao longo da mangueira: \;33\\ \text{psig por 100 ft} (esta é a perda dada nas condições de projeto).
  • O bocal descarga para a atmosfera (pressão de saída assumida igual à pressão atmosférica).
O que o enunciado pede:
  1. Calcular a vazão de projeto.
  2. Calcular a máxima velocidade na saída do bocal.
  3. Selecionar uma bomba apropriada (isto inclui estimar a altura (head) que a bomba precisa fornecer e a potência necessária).
Observações importantes (retidas do enunciado):
  • A perda total ao longo da mangueira será a perda por 100 ft multiplicada por \;3 (porque a mangueira tem 300 ft).
  • A pressão indicada na entrada do bocal ( 100\\ \text{psig}) é a pressão disponível imediatamente antes do bocal — essa pressão será convertida em velocidade de saída através do princípio de Bernoulli (para descarga para a atmosfera).

Passo 2

Converter unidades e lembrar fórmulas úteis (aqui eu explico os conceitos básicos, passo a passo):
  • Conversão de pressão: \;1\\ \text{psi} = 144\\ \text{lb}_f/\text{ft}^2.
    Isso vem de 1\\ \text{lb}_f distribuído por 1\\ \text{ft}^2 e 1\\ \text{psi}=1\\ \text{lb}_f/\text{in}^2 com 1\\ \text{ft}^2=144\\ \text{in}^2.
  • Peso específico da água (densidade-peso): \;\gamma = 62{,}4\\ \text{lb}_f/\text{ft}^3.
    Esse valor é usado para converter pressão (força/área) em column head (altura de coluna de água) via \;h=p/\gamma.
  • A equação de Bernoulli simplificada entre a entrada do bocal (ponto 1) e a saída para a atmosfera (ponto 2), desconsiderando perdas locais na ponta (assumimos que a maior conversão é pressão \to energia cinética) e tomando níveis iguais, dá:
    \frac{p_1}{\gamma} = \frac{v^2}{2g}
    onde:
    • \;p_1 é a pressão absoluta efetiva no ponto 1 (aqui usamos pressão gauge porque estamos descartando a pressão atmosférica dos dois lados),
    • \;v é a velocidade do jato na saída,
    • \;g=32{,}174\\ \text{ft}/\text{s}^2 é a gravidade em unidades inglesas,
    • \;\gamma é o peso específico da água.
      Essa fórmula reescrita para velocidade é:
    v = \sqrt{2 g \frac{p_1}{\gamma}}
    Explicando: \;p_1/\gamma dá a “altura” de água equivalente da pressão disponível; multiplicando por 2g e fazendo raiz você obtém a velocidade (energia de pressão transformada em energia cinética).
  • Área de seção transversal da mangueira (assumindo bocal de mesmo diâmetro ou bocal full‑bore igual ao diâmetro da mangueira): \;A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Vazão volumétrica: \;Q = A v.
Vou aplicar essas fórmulas com as conversões necessárias.

Passo 3

Converter dados numéricos e calcular a altura correspondente à pressão de entrada do bocal:
  • Pressão na entrada do bocal: \;p_1 = 100\\ \text{psig}. Converter para \text{lb}_f/\text{ft}^2:
    p_1 = 100\\ \text{psi} \times 144\\ \frac{\text{lb}_f}{\text{ft}^2\cdot\text{psi}} = 14400\\ \frac{\text{lb}_f}{\text{ft}^2}.
  • Converter essa pressão para head (altura de coluna d’água):
    h = \frac{p_1}{\gamma} = \frac{14400}{62{,}4} = 230{,}7692308\\ \text{ft}.
    Interpretação: a pressão de 100\\ \text{psig} equivale a uma coluna de água de \approx 230{,}77\\ \text{ft}.

Passo 4

Calcular a velocidade máxima de saída a partir de h usando Bernoulli:
  • Fórmula: v = \sqrt{2 g h}.Substituindo os valores: v = \sqrt{2 \cdot 32{,}174\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}^2} \cdot 230{,}7692308\\ \text{ft}}.Vamos calcular passo a passo: 2g = 64{,}348\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}^2}.
2g \, h = 64{,}348 \times 230{,}7692308 \approx 14850{,}0\\ (\text{ft}^2/\text{s}^2).
v \approx \sqrt{14850{,}0} \approx 121{,}86\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}}.
  • Conclusão provisória: a máxima velocidade de saída (assumindo o bocal convertido toda pressão em velocidade e descarga para a atmosfera) é aproximadamente \;121{,}86\\ \text{ft/s}.

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica associada (assumindo bocal full-bore igual ao diâmetro da mangueira):
  • Converter o diâmetro:
    D = 3\\ \text{in} = 0{,}25\\ \text{ft}.
  • Área da seção transversal:
    A = \frac{\pi D^2}{4} = \pi \frac{(0{,}25)^2}{4} = \pi \times 0{,}015625 \approx 0{,}049087385\\ \text{ft}^2.
  • Vazão:
    Q = A v \approx 0{,}049087385 \times 121{,}856 \approx 5{,}981\\ \text{ft}^3/\text{s}.
  • Converter para unidades práticas (gallons per minute, gpm): 1\\ \text{ft}^3/\text{s} = 448{,}831\\ \text{gpm}.
    Q \approx 5{,}981 \times 448{,}831 \approx 2683\\ \text{gpm}.
  • Interpretação: a vazão de projeto, assumindo bocal de 3 in e pressão de entrada 100\\ \text{psig}, é aproximadamente \;5{,}98\\ \text{ft}^3/\text{s} \approx 2683\\ \text{gpm}.

Passo 6

Calcular a perda total na mangueira e a elevação de pressão que a bomba precisa fornecer (head da bomba):
  • A perda de carga fornecida: \;33\\ \text{psig por 100 ft}. Para 300\\ \text{ft} (três blocos de 100 ft):
    \Delta p_{\text{perda total}} = 3 \times 33\\ \text{psig} = 99\\ \text{psig}.
  • A bomba recebe água a \;50\\ \text{psig} (do hidrante) e precisa entregar \;100\\ \text{psig} na entrada do bocal, além de vencer as perdas. Logo, o aumento de pressão que a bomba precisa aplicar é:
    \Delta p_{\text{bomba}} = (100 - 50)\\ \text{psig} + 99\\ \text{psig} = 149\\ \text{psig}.
  • Converter \Delta p_{\text{bomba}} para head em pés de água:
    \Delta p_{\text{bomba}} = 149\\ \text{psi} \times 144\\ \frac{\text{lb}_f}{\text{ft}^2\cdot\text{psi}} = 21456\\ \frac{\text{lb}_f}{\text{ft}^2}.
h_{\text{bomba}} = \frac{\Delta p_{\text{bomba}}}{\gamma} = \frac{21456}{62{,}4} \approx 343{,}8461538\\ \text{ft}.
Interpretação: a bomba precisa fornecer cerca de \;344\\ \text{ft} de head para manter as condições de projeto.

Passo 7

Calcular a potência hidráulica exigida e selecionar uma bomba prática (incluindo eficiência):
  • Potência hidráulica (water horsepower) em hp:
    Fórmula (em unidades inglesas):
    P_{\text{hid}} = \frac{\gamma\, Q\, h}{550}
    onde 550\\ \text{ft}\cdot\text{lb}_f/\text{s} é 1\\ \text{hp}.
    Substituindo:
    P_{\text{hid}} = \frac{62{,}4 \times 5{,}981\\ \text{ft}^3/\text{s} \times 343{,}846}{550}.
    Primeiro calcule o numerador aproximado:
    62{,}4 \times 5{,}981 \approx 373{,}20,
373{,}20 \times 343{,}846 \approx 128{,}255\\ \text{ft}\cdot\text{lb}_f/\text{s}.
Agora:
P_{\text{hid}} \approx \frac{128{,}255}{550} \approx 233{,}19\\ \text{hp}.
  • Considerando eficiência da bomba e do motor: bombas reais não são 100% eficientes. Supondo uma eficiência razoável para bomba centrífuga de grandes vazões, por exemplo \eta = 0{,}70 (70%), a potência no eixo (brake horsepower) necessária é:
    P_{\text{eixo}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta} \approx \frac{233{,}19}{0{,}70} \approx 333{,}13\\ \text{hp}.
    Se usarmos \eta = 0{,}75 (75%):
    P_{\text{eixo}} \approx \frac{233{,}19}{0{,}75} \approx 310{,}92\\ \text{hp}.
  • Seleção prática: escolhemos uma bomba capaz de entregar aproximadamente \;2680\\ \text{gpm} a \sim 344\\ \text{ft} de head. A potência necessária no eixo fica na faixa de \;310 \;333\\ \text{hp} dependendo da eficiência. Portanto, é prudente selecionar uma bomba (e motor) com folga: por exemplo uma unidade comercial de \;350\\ \text{hp} (ou um conjunto motor/bomba de potência nominal próxima e curva operacional que forneça \sim 2680\\ \text{gpm} a 344 ft) seria adequada.
  • Observação didática: na prática escolheríamos uma bomba com curva que passe pelo ponto ( Q\approx2680\\ \text{gpm},\\ H\approx344\\ \text{ft}) e ainda reservar margem de segurança e eficiência. Também consideraríamos perdas locais do bocal, acoplamentos, tubulações adicionais e eficiência do motor.

Resposta

Vazão de projeto Q \approx 5{,}98\\ \text{ft}^3/\text{s} \approx 2683\\ \text{gpm}.
Velocidade máxima na saída do bocal v \approx 121{,}86\\ \text{ft/s}.
Bomba: deve fornecer cerca de h \approx 344\\ \text{ft} de head a \approx 2680\\ \text{gpm}; potência hidráulica \approx 233\\ \text{hp}, potência no eixo ~ 311 333\\ \text{hp} dependendo da eficiência, portanto selecionar uma bomba/motor comercial de aproximadamente 350\\ \text{hp} (capaz de ~2680 gpm a ~344 ft).

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