A quádrica 2 x^{2}-4 y^{2}-4 z^{2}-4 x+8 y-8 z-10=0 é uma quádrica deslocada da origem. Complete o quadrado e determine qual é a quádrica e a equação.
Escolha uma opção:
a. Hiperboloide de 1 folha: \frac{(x-1)^{2}}{\frac{1}{2}}-(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=1
b. Elipsoide: \frac{(x-1)^{2}}{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=1
c. Elipsoide: \frac{(x-1)^{2}}{\frac{1}{2}}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=1
d. Hiperboloide de 1 folha: \frac{(x-1)^{2}}{2}-(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=1
e. Hiperboloide de 2 folhas: \frac{(x-1)^{2}}{2}-(y-1)^{2}-(z+1)^{2}=1
f. Hiperboloide de 2 folhas: \frac{(x-1)^{2}}{\frac{1}{2}}-(y-1)^{2}-(z+1)^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície
2x^{2}-4y^{2}-4z^{2}-4x+8y-8z-10=0
e pede que completemos quadrados para colocá-la em forma padrão e então classifiquemos a quádric­a (elipsoide ou hiperboloide de uma ou duas folhas).

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x, y e z agrupando termos:
  1. Para x:
2x^{2}-4x=2\bigl(x^{2}-2x\bigr)=2\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)=2(x-1)^{2}-2.
  1. Para y:
-4y^{2}+8y=-4\bigl(y^{2}-2y\bigr)=-4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)=-4(y-1)^{2}+4.
  1. Para z:
-4z^{2}-8z=-4\bigl(z^{2}+2z\bigr)=-4\bigl((z+1)^{2}-1\bigr)=-4(z+1)^{2}+4.
Substituindo na equação original:
\bigl[2(x-1)^{2}-2\bigr]+\bigl[-4(y-1)^{2}+4\bigr]+\bigl[-4(z+1)^{2}+4\bigr]-10=0.

Passo 3

Somando as constantes: -2+4+4-10=-4, logo
2(x-1)^{2}-4(y-1)^{2}-4(z+1)^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 2(x-1)^{2}-4(y-1)^{2}-4(z+1)^{2}=4.
Dividindo tudo por 4:
\frac{2(x-1)^{2}}{4}-\frac{4(y-1)^{2}}{4}-\frac{4(z+1)^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-1)^{2}}{2}-(y-1)^{2}-(z+1)^{2}=1.

Passo 4

Na forma
\frac{(x-1)^{2}}{2}-(y-1)^{2}-(z+1)^{2}=1
há um coeficiente positivo e dois negativos. Esse é o caso de hiperboloide de duas folhas, pois apenas uma direção (a do eixo x) é positiva.

Resposta

e. Hiperboloide de 2 folhas: \displaystyle\frac{(x-1)^{2}}{2}-(y-1)^{2}-(z+1)^{2}=1

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