10 Se ai j são constantes, calcule a derivada parcial partialpartial xk(ai j xi xj).
Substituições, Delta de Kronecker

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial
partialpartial xkl(aijxixjr),
onde aij são constantes. O conteúdo aqui é derivada parcial de uma forma quadrática em notação de soma de Einstein, usando a propriedade
partial xi/partial xk=de<aik (delta de Kronecker).

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do produto em
partialpartial xk(xixj), sabendo que
partial xipartial xk=de<aik e partial xjpartial xk=de<ajk
Logo,
partialpartial xk(xixj) = de<aik,xj + xi,de<ajk

Passo 3

Agora contraios essa expressão com aij:
partialpartial xkl(aijxixjr) = aijl(de<aikxj + xide<ajkr) = aij,de<aik,xj + aij,xi,de<ajk

Passo 4

Simplificando cada termo usando a definição da delta de Kronecker:
aij,de<aik,xj = akj,xj, aij,xi,de<ajk = aik,xi
Somando os dois resultados:
partialpartial xkl(aijxixjr) = akj,xj + aik,xi
Se quisermos expressar tudo com um mesmo índice livre, renomeamos ito j no segundo termo:
= l(akj+ajkr),xj

Resposta

partialpartial xkl(aijxixjr) = akj,xj + aik,xi = l(akj+ajkr),xj

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