6 Sejam e1=imath e e2=jmath uma base cartesiana em R^2.
Sejam e1=e1+e2 e e2=-e1+e2. Calcule a matriz de transformação, A, da base ei à base ei. Calcule a matriz de transformação das componentes de vetores entre as bases (lembre que componentes e vetores transformam inversemente). A nova base é ortogonal? É cartesiana?
Seja v o vetor v=3 e1-2 e2. Determine vi^prime, as componentes de v na nova base. Demonstre que vi^prime ei^prime=vi ei.
Normalize a base ei^prime, dividindo cada vetor de base por seu módulo, assim formando uma base cartesiana. Quais são as componentes de v nessa nova base?

Passo 1

O enunciado nos dá a base canônica vec e1=vecimath,;vec e2=vecjmath em R^2 e define a nova base
vec e1' = vec e1 + vec e2, vec e2' = -vec e1 + vec e2
O conteúdo aqui é mudança de base em espaços vetoriais, cálculo de matriz de transformação, inversão de matriz, análise de ortogonalidade e normalização de base.

Passo 2

Para achar a matriz A que leva as coordenadas na base vec ei às coordenadas na base vec ei', colocamos em cada coluna as componentes de vec ej' na base antiga:
vec e1' = 1cdotvec e1 + 1cdotvec e2, vec e2' = (-1)cdotvec e1 + 1cdotvec e2
Logo,
A = 1 & -1 1 & ;,1

Passo 3

Os componentes de um vetor transformam-se pela inversa de A. Calculamos
A^-1 = 1det A1 & 1-1 & 1, det A = 1cdot1 - (-1)cdot1 = 2,
logo
A^-1 = 12 1 & 1 -1 & 1

Passo 4

Verificamos a ortogonalidade de vec ei' pelo produto escalar:
vec e1'cdotvec e2' =(1,1)cdot(-1,1)=1cdot(-1)+1cdot1=0,
logo é uma base ortogonal. Mas seus vetores têm norma |vec ei'|=raiz1^2+1^2=raiz2ne1, portanto não é ortonormal e nem cartesiana.

Passo 5

Dado , suas componentes na base antiga são . As componentes na nova base vêm de

Passo 6

Para demonstrar que
vi',vec ei' ;=; vi,vec ei,
observamos
12,vec e1' - 52,vec e2' =12(vec e1+vec e2)-52(-vec e1+vec e2) =l(tfrac12+tfrac52r)vec e1+l(tfrac12-tfrac52r)vec e2 =3,vec e1-2,vec e2,
que é exatamente vec v.

Passo 7

Normalizamos cada vetor da base ortogonal:
vec e1''=vec e1'|vec e1'|=1raiz2(1,1), vec e2''=vec e2'|vec e2'|=1raiz2(-1,1)
Como agora a base é ortonormal, as componentes de vec v são obtidas pelo produto escalar:
v1''=vec vcdotvec e1''=3cdot1+(-2)cdot1raiz2=1raiz2, v2''=vec vcdotvec e2''=3cdot(-1)+(-2)cdot1raiz2=-5raiz2

Resposta

Matriz de transformação das bases:
A=1 & -11 & 1, A^-1=121 & 1-1 & 1
A nova base é ortogonal, mas não cartesiana.
Componentes de vec v na base vec ei':
(v1',v2')=(tfrac12,,-tfrac52)
Depois de normalizar a base, as componentes de vec v são
(v1'',v2'')=l(tfrac1raiz2,,-tfrac5raiz2r)

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