6 Sejam e uma base cartesiana em .
Sejam e . Calcule a matriz de transformação, A, da base à base . Calcule a matriz de transformação das componentes de vetores entre as bases (lembre que componentes e vetores transformam inversemente). A nova base é ortogonal? É cartesiana?
Seja o vetor . Determine , as componentes de na nova base. Demonstre que .
Normalize a base , dividindo cada vetor de base por seu módulo, assim formando uma base cartesiana. Quais são as componentes de nessa nova base?
Passo 1
O enunciado nos dá a base canônica em e define a nova base
O conteúdo aqui é mudança de base em espaços vetoriais, cálculo de matriz de transformação, inversão de matriz, análise de ortogonalidade e normalização de base.
Passo 2
Para achar a matriz que leva as coordenadas na base às coordenadas na base , colocamos em cada coluna as componentes de na base antiga:
Logo,
Passo 3
Os componentes de um vetor transformam-se pela inversa de A. Calculamos
A^-1 = 1det A1 & 1-1 & 1, det A = 1cdot1 - (-1)cdot1 = 2,
logo
A^-1 = 12 1 & 1 -1 & 1
Passo 4
Verificamos a ortogonalidade de vec ei' pelo produto escalar: