9 Demonstre que
se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma bilinear
é igual a zero quando
O conteúdo aqui é reconhecer que
é uma matriz antissimétrica e usar o fato de que para matrizes antissimétricas a forma quadrática
vale zero.
Passo 2
Vamos verificar a antissimetria de
. Para quaisquer índices
temos
Em particular, para
vale
Passo 3
Escrevemos a soma
separando termos diagonais e não-diagonais:
Como
, o primeiro somatório some, restando apenas os termos com
.
Passo 4
Agora agrupamos cada par
e
no somatório não-diagonal:
Mas como
, cada termo dentro do par é
Logo todos os pares somam zero e, portanto,
.