9 Demonstre que ai j xi xj=0 se ai j=i-j.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma bilinear
S = sumi,j=1^n aij,xi,xj
é igual a zero quando
aij = i - j
O conteúdo aqui é reconhecer que A=(aij) é uma matriz antissimétrica e usar o fato de que para matrizes antissimétricas a forma quadrática x^T A x vale zero.

Passo 2

Vamos verificar a antissimetria de A. Para quaisquer índices i,j temos
aji = j - i = -(i - j) = -,aij
Em particular, para i=j vale
aii = i - i = 0

Passo 3

Escrevemos a soma separando termos diagonais e não-diagonais:
Como , o primeiro somatório some, restando apenas os termos com .

Passo 4

Agora agrupamos cada par e no somatório não-diagonal:
Mas como , cada termo dentro do par é
Logo todos os pares somam zero e, portanto, .

Resposta

sumi,j=1^naij,xi,xj = 0

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