(3,0/10) Algumas pessoas acreditam que o aço inoxidável é termicamente muito inferior ao cobre como material de construção de tanques de aquecimento com camisa de vapor, os quais são muito utilizados no processamento de alimentos (concentração de sucos, por exemplo). Sabe-se que os coeficientes de transferência de calor na condensação do vapor de água na camisa ( \mathrm{h}_{\text {cond }} ) e na ebulição do líquido no interior de um evaporador ( \mathrm{h}_{\text {ebu }} ) são iguais a 10.000 e 800 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, respectivamente. Para um tanque com espessura igual a 2 mm e uma diferença de temperatura de 55^{\circ} \mathrm{C}, determine a intensidade da transferência de calor se o tanque for construído de:
(a) Aço inoxidável ( \mathrm{k}_{\text {inox }}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} )
(b) Cobre ( \mathrm{k}_{\text {cobre }}=388 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} )
(c) Comente os resultados encontrados.

Passo 1

O enunciado pede a intensidade de transferência de calor (fluxo por unidade de área) através da parede de um tanque com camisa de vapor quando a diferença de temperatura entre o vapor e o líquido é 55^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
h_{\text{cond}} = 10\,000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}
h_{\text{ebu}} = 800\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}
L = 2\\ \mathrm{mm} = 0,002\\ \mathrm{m}
\Delta T = 55^\circ\mathrm{C}
Materiais:
k_{\text{inox}} = 20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}
k_{\text{cobre}} = 388\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}
Perguntas:
(a) Calcular a intensidade de transferência de calor se o tanque for de aço inox.
(b) Calcular a intensidade de transferência de calor se o tanque for de cobre.
(c) Comentar os resultados.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
O calor atravessa em série três “resistências térmicas” por unidade de área: a camada de condensação do vapor (convecção no lado da camisa), a parede do tanque (condução) e a camada de ebulição no interior (convecção no lado do líquido). Para resistências em série a condutância global U (coeficiente global de transferência de calor por área) é dada por:
\frac{1}{U} = \frac{1}{h_{\text{cond}}} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h_{\text{ebu}}}.
Explicando cada termo:
  • \frac{1}{h_{\text{cond}}} é a resistência convectiva do lado do vapor (unidade \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}). Quanto maior h, menor essa resistência.
  • \frac{L}{k} é a resistência de condução da parede (espessura sobre condutividade térmica).
  • \frac{1}{h_{\text{ebu}}} é a resistência convectiva do lado do líquido em ebulição.
    Depois de achar U, a intensidade de transferência de calor por área (fluxo) é:
\dot{q}'' = U\,\Delta T.
Vamos aplicar passo a passo para cada material, calculando cada resistência explicitamente para ver quem domina.

Passo 3

Cálculo detalhado para aço inox ( k_{\text{inox}}=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}) — faça como no rascunho da prova:
Calcule as resistências individuais:
\frac{1}{h_{\text{cond}}}=\frac{1}{10\,000} = 0,0001\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
\frac{L}{k_{\text{inox}}}=\frac{0,002}{20}=0,0001\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
\frac{1}{h_{\text{ebu}}}=\frac{1}{800}=0,00125\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Some-se as resistências:
\frac{1}{U}=0,0001+0,0001+0,00125=0,00145\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Inverta para obter U:
U=\frac{1}{0,00145}\approx 689,655\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Agora o fluxo:
\dot{q}''=U\,\Delta T \approx 689,655\times 55 \approx 37\,931\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Arredondando de forma prática para prova: \dot{q}''\approx 3,79\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo detalhado para cobre ( k_{\text{cobre}}=388\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}):
Calcule as resistências:
\frac{1}{h_{\text{cond}}}=0,0001\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}\quad(\text{mesmo que antes}).
\frac{L}{k_{\text{cobre}}}=\frac{0,002}{388}\approx 0,0000051546\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
\frac{1}{h_{\text{ebu}}}=0,00125\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Some-se as resistências:
\frac{1}{U}=0,0001+0,0000051546+0,00125\approx 0,0013551546\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Inverta para obter U:
U=\frac{1}{0,0013551546}\approx 737,76\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Agora o fluxo:
\dot{q}''=U\,\Delta T \approx 737,76\times 55 \approx 40\,577\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Arredondando: \dot{q}''\approx 4,06\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Interpretação física e comentário (didático e prático):
  • Compare os valores: para inox \dot{q}''\approx 3,79\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e para cobre \dot{q}''\approx 4,06\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Melhoria percentual aproximada ao usar cobre:
\frac{4,06\times 10^{4}-3,79\times 10^{4}}{3,79\times 10^{4}}\times 100\%\approx 7{,}0\%.
  • Explicação clara: a resistência dominante é a da ebulição no interior ( \frac{1}{h_{\text{ebu}}}=0,00125), muito maior que a resistência de condução da parede mesmo para o inox. Ou seja, a troca térmica está “limitada” pela convecção de ebulição, não pela condução através da parede. Por isso, mesmo que o cobre seja muito mais condutor, o ganho total é pequeno (≈7%).
  • Conclusão prática: em aplicações como esses tanques com camisa de vapor, o aço inoxidável não é termicamente “muito inferior” ao cobre quando as resistências convectivas (particularmente a do processo: ebulição/condensação) são baixas dominaantes. Assim, na escolha do material deve-se priorizar também corrosão, custo, resistência mecânica e higiene, pois a vantagem térmica do cobre é modesta aqui.

Resposta

(a) \dot{q}''\approx 3,79\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
(b) \dot{q}''\approx 4,06\times 10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
(c) Melhoria de aproximadamente 7{,}0\% com cobre; a resistência de ebulição domina, logo a condução no metal tem efeito pequeno.

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