4 { }^{\text {a }} QUESTÃO ( 7,0 pontos): [Adaptado de MUNSON, 2011] A vazão de água que é bombeada de um lago através de uma tubulação com 0,2 \mathrm{~m} de diâmetro é igual a 0,28 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Qual é a pressão no tubo de sucção da bomba numa altura de 1,82 \mathrm{~m} acima da superfície livre do lago? Verifique se esse local da tubulação está sob rice de cavitação e justifique sua análise. Admita que os efeitos viscosos são desprezíveis. Faça um desenho esquemático do problema antes de resolvê-lo (aspecto também pontuado).
Dados: \gamma_{\text {AGUA }}=9,81 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} ; p_{\text {VAPOR }}=2,338 \mathrm{kPa} ; p_{\text {ATM }}=101,3 \mathrm{kPa}.

Passo 1

Enunciado em palavras: temos água sendo bombeada de um lago por uma tubulação de diâmetro 0,2\\ \mathrm{m} com vazão 0,28\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Queremos achar a pressão no ponto da tubulação que está a 1,82\\ \mathrm{m} acima da superfície livre do lago (este é o ponto de sucção da bomba). Também precisamos verificar se nesse ponto há risco de cavitação, comparando a pressão local com a pressão de vapor dada.
Informações fornecidas (vou listar todas explicitamente):
\begin{aligned} &\text{diâmetro: } d=0,2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{vazão: } Q=0,28\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ &\text{elevação do ponto de sucção: } z_s=1,82\\ \mathrm{m}\\ (\text{acima da superfície do lago}),\\\ &\text{densidade/peso específico da água: } \gamma_{\text{água}}=9,81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3=9810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3,\\\ &\text{pressão de vapor: } p_{\text{vapor}}=2,338\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{pressão atmosférica: } p_{\text{atm}}=101,3\\ \mathrm{kPa}. \end{aligned}âãçãçãííááããé
O que o exercício pede:
  • Calcular a pressão no tubo de sucção (valor absoluto, no ponto a 1,82\\ \mathrm{m} acima da superfície).
  • Verificar se há risco de cavitação nesse ponto (comparar com p_{\text{vapor}} e justificar).

Passo 2

Desenho esquemático (descrição que serve como “esboço” para a prova):
  • Desenhar a superfície livre do lago como linha horizontal (marcar esse nível como referência z=0).
  • A direita, desenhar a tubulação submersa que sobe até o ponto de sucção da bomba, marcado a uma altura z_s=1,82\\ \mathrm{m} acima da superfície.
  • No topo do lago, anotar p=p_{\text{atm}} e v\approx 0 (superfície grande).
  • No tubo, no ponto de sucção, anotar p=p_s (desconhecido) e v (calculado a partir de Q e d).
    Esse esboço organiza onde aplicaremos a equação de Bernoulli entre a superfície livre do lago e o ponto de sucção.

Passo 3

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta sobre Bernoulli):
  • Como o escoamento é presumido ideal (efeitos viscosos desprezíveis), usamos a equação de Bernoulli entre dois pontos em uma mesma linha de corrente:
\frac{p_1}{\gamma}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\gamma}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2,
onde:
  • p é pressão absoluta (N/m^2 ou Pa),
  • \gamma é o peso específico do fluido (N/m^3),
  • v é a velocidade (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2),
  • z é a elevação vertical (m).
  • Interpretação física: soma das alturas de pressão, velocidade e elevação é constante ao longo da corrente (quando não há perdas).
Aplicaremos Bernoulli entre o ponto 1 = superfície livre do lago e o ponto 2 = ponto de sucção no tubo. Na superfície do lago tomamos p_1=p_{\text{atm}} e v_1\approx 0 (área muito grande comparada ao tubo). No ponto 2, z_2=z_s, v_2=v (a velocidade na tubulação) e p_2=p_s é o que buscamos.

Passo 4

Cálculo da velocidade no tubo a partir de Q e d (aula curta sobre área e velocidade):
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0,2)^2}{4}=0,01\pi\\ \mathrm{m}^2.
  • Calcular numericamente A:
A=0,01\pi\\ \mathrm{m}^2\approx 0,031416\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade média na tubulação:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,28}{0,01\pi}\\ \mathrm{m/s}\approx 8,915\\ \mathrm{m/s}.
Observação: este cálculo é só dividir vazão pela área; na prova faça a conta com precisão razoável.

Passo 5

Aplicando Bernoulli e isolando p_s (mostrando cada termo):
  • Bernoulli entre superfície (1) e ponto de sucção (2):
\frac{p_{\text{atm}}}{\gamma}+0+0=\frac{p_s}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}+z_s.
  • Isolando p_s:
\frac{p_s}{\gamma}=\frac{p_{\text{atm}}}{\gamma}-\frac{v^2}{2g}-z_s.
  • Multiplicando por \gamma:
p_s=p_{\text{atm}}-\gamma\left(\frac{v^2}{2g}+z_s\right).
Aqui cada termo tem unidade de pressão (Pa). Vamos calcular numericamente.

Passo 6

Cálculos numéricos passo a passo:
  • Primeiro calcule a cabeça de velocidade:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(8,915)^2}{2\cdot 9,81}.
Calcule v^2:
v^2\approx 8,915^2\approx 79,484\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
Agora:
\frac{v^2}{2g}\approx\frac{79,484}{19,62}\approx 4,05\\ \mathrm{m}.
  • Soma das alturas (cabeça de velocidade + elevação):
\frac{v^2}{2g}+z_s\approx 4,05+1,82=5,87\\ \mathrm{m}.
  • Multiplicando por \gamma para obter a pressão equivalente:
\gamma\left(\frac{v^2}{2g}+z_s\right)=9810\cdot 5,87\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2\approx 57\,585\\ \mathrm{Pa}=57,585\\ \mathrm{kPa}.
  • Finalmente, pressão no ponto de sucção:
p_s=p_{\text{atm}}-57,585\\ \mathrm{kPa}=101,3\\ \mathrm{kPa}-57,585\\ \mathrm{kPa}\approx 43,715\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma prática para a prova:
p_s\approx 43,7\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{pressão absoluta}).ã
Também é útil ver a pressão relativa (pressão manométrica):
p_s-p_{\text{atm}}\approx -57,6\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{ou seja, }57,6\\ \mathrm{kPa}\\ \text{abaixo da atmosférica}).é

Passo 7

Verificação de cavitação (explicação didática do critério):
  • Cavitação ocorre quando a pressão local cai até o valor da pressão de vapor do líquido, p_{\text{vapor}}: bolhas de vapor podem se formar se p_{\text{local}}\le p_{\text{vapor}}.
  • Aqui p_{\text{vapor}}=2,338\\ \mathrm{kPa}. Comparando com o resultado:
p_s\approx 43,7\\ \mathrm{kPa}\gg 2,338\\ \mathrm{kPa}.
  • Portanto a pressão no ponto de sucção é muito maior que a pressão de vapor; não há formação de vapor ali e, consequentemente, não há risco de cavitação naquele local.
  • Margem de segurança: 43,7-2,338\approx 41,4\\ \mathrm{kPa} acima da pressão de vapor — bastante folga.

Resposta

p_s\approx 43,7\\ \mathrm{kPa} (pressão absoluta no ponto de sucção).\nNão há risco de cavitação, pois p_s\approx 43,7\\ \mathrm{kPa}>p_{\text{vapor}}=2,338\\ \mathrm{kPa}.

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