2- Apresente formalmente as equações de balanço com as condições iniciais e de contorno. Explique o significado de cada parcela nos balanços e das condições.
Passo 1
O enunciado pede que eu “apresente formalmente as equações de balanço com as condições iniciais e de contorno” e que eu explique o significado de cada parcela nos balanços e das condições.
Informações dadas (implícitas no enunciado): devo fornecer as equações de balanço gerais (conservação) e explicar cada termo e os tipos de condições iniciais e de contorno que costumam ser usados. Não há figura nem dados numéricos adicionais.
Informações dadas (implícitas no enunciado): devo fornecer as equações de balanço gerais (conservação) e explicar cada termo e os tipos de condições iniciais e de contorno que costumam ser usados. Não há figura nem dados numéricos adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a forma integral geral de um balanço para uma grandeza escalar extensiva por unidade de massa
num volume de controle
com fronteira
. A forma integral é pedagógica porque explicita fluxos através da superfície e fontes internas:
Explicação de cada parcela:
-
: taxa de acumulação da quantidade dentro do volume . Aqui é densidade (unidade: massa/volume) e é a densidade volumétrica da grandeza conservada. -
: fluxo convectivo através da superfície — transporte de por movimento do fluido com velocidade . é a normal externa. -
: fluxo não-convectivo (difusivo ou por condução) através da superfície; o sinal negativo segue a convenção de que um fluxo no sentido externo reduz a quantidade no volume. é o vetor fluxo difusivo (por exemplo, fluxo de massa por difusão ou fluxo de calor). -
: fonte volumétrica interna (geração ou consumo) de por unidade de volume.
Passo 3
Transformando a forma integral em forma local (diferencial) usando o teorema da divergência e assumindo regularidade, obtemos a forma conservativa local:
Interpretação local:
-
: variação temporal local da densidade volumétrica de . -
: divergência do fluxo convectivo — representa saída/entrada local de por convecção. -
: contribuição local de difusão/condutividade. -
: geração local.
Exemplo de lei constitutiva (frequentemente usada):
- Para difusão linear:
, onde é coeficiente difusivo (ex.: coeficiente de difusão ou condutividade térmica); a lei inverte o gradiente: fluxo sai onde é maior.
Passo 4
Agora as equações fundamentais de fluxo contínuo (as mais comuns em provas): massa, quantidade de movimento (momentum) e energia.
- Continuidade (conservação de massa). Forma diferencial:
Significado:
- Termo
: variação local da densidade. - Termo
: divergência do fluxo de massa.
Caso incompressível (densidade constanteconst): simplifica para
que significa “volume defluido conservado” — não há variação local de volume.
Passo 5
- Balanço de quantidade de movimento (equação de Navier–Stokes/Cauchy em forma geral). Forma convectiva/diferencial útil:
Aqui:
-
: termo de inércia; é a aceleração local e é a aceleração convectiva (mudança de velocidade ao mover-se no campo). -
: forças de superfície por unidade de volume, com tensor de tensões (stress). Decompõe-se tipicamente em
onde
é a pressão (tensão normal) e
é o tensor de tensões viscosas (tensão de cisalhamento).
-
: força volumétrica (por exemplo, gravidade).
Para um fluido newtoniano isotrópico (modelo comum):
com
viscosidade dinâmica. Assim fica explícito o termo viscoso (difusivo de momento).
Passo 6
- Balanço de energia. Existem formas em termos de energia total ou energia interna. Forma em termos de energia interna específica
(por unidade de massa) é:
Explicação:
-
: variação material da energia interna por unidade de volume. -
: trabalho das tensões por unidade de volume; inclui contribuição (compressão) e dissipação viscosa . -
: divergência do fluxo de calor; é o vetor fluxo térmico (ex.: lei de Fourier , com condutividade térmica). -
: fonte volumétrica de energia (ex.: aquecimento interno, reações químicas).
Observação: forma total de energia inclui também energia cinética
; às vezes usamos a equação de energia total para fechar modelos compressíveis.
Passo 7
Condições iniciais (CI) — o que precisamos dar em
:
- Para problemas dependentes do tempo, deve-se fornecer o estado inicial em todo o domínio
:
ou para demais campos escalares
. Estas funções iniciais têm de ser compatíveis com certas BCs (por exemplo, se a parede tem
então
deve satisfazer isso na fronteira).
Passo 8
Condições de contorno (BC) — tipos e significado físico (as que aparecem com mais frequência):
- Dirichlet (valor imposto): especifica o valor do campo na fronteira. Ex.: velocidade fixa numa parede (no–slip)
Significado: a própria variável é fixada na fronteira (ex.: temperatura na parede).
- Neumann (fluxo imposto): especifica o fluxo normal do campo. Ex.: fluxo de calor prescrito
Significado: especifica quanto da grandeza entra/saí pela fronteira (ex.: calor por unidade de área).
- Robin (misto / convectivo): combinação linear valor–fluxo, comum em troca convectiva com ambiente
onde
é coeficiente convectivo e
temperatura ambiente. É útil quando não sabemos
na outra face, só o ambiente fora.
- Condição de tração (para momentum): especifica a tensão/força por unidade de área na fronteira:
Ex.: parede sujeita a uma pressão externa ou tração conhecida.
- Condição impermeabilidade (parede sólida): componente normal da velocidade zero:
- Condição no–slip (fluido viscoso): velocidade tangencial na parede igual à velocidade da parede (geralmente zero):
- Periódicas: valor em uma face igual ao da face oposta; usadas em problemas repetitivos.
Observações práticas:
- A escolha e o número de condições dependem do tipo da PDE: para equações parabolóides (ex.: difusão) precisa-se de CI + BC apropriadas; para equações elípticas (ex.: Poisson), CI não se aplica mas BCs são essenciais; para equações hiperbólicas (ex.: onda, advecção pura) as condições devem seguir a direção das características (mais delicado).
- Em problemas físicos é comum misturar tipos: valor de temperatura numa parte da fronteira, fluxo numa outra, e condição de isolamento noutra.
Passo 9
Exemplo concreto e simples (1D, escalar advecção-difusão):
PDE:
PDE:
com
velocidade (constante),
difusividade,
fonte. CI:
BCs possíveis:
- Dirichlet:
. - Neumann:
. - Robin (convectivo):
.
Interpretação rápida: termo
acumula,
transporta sem trocar entre vizinhos,
suaviza a solução (difusão),
cria/consome
.
Passo 10
Observações finais e dicas para a prova (estilo amigo):
- Sempre identifique a grandeza conservada e escolha se usa forma integral (bom para interpretar fluxos) ou forma diferencial (bom para manipular analiticamente).
- Anote claramente: (i) quais campos precisam de CI; (ii) que tipo de BC cada campo aceita; (iii) verifique compatibilidade entre CI e BC na fronteira no instante inicial.
- Preste atenção nos sinais: fluxos externos que saem diminuem a quantidade no volume (sinal negativo na forma integral).
- Se a questão pedir simplificações (fluido incompressível, regime estacionário, sem viscosidade), aplique-as explicitamente nas equações para justificar termos nulos.
- Em problemas numéricos/teóricos, escrever a forma conservativa
ajuda a garantir conservação.