1 - Uma companhia de avião chegou à conclusão de que
das pessoas que fazem reserva num dado voo não comparecem ao embarque. Consequentemente, adotou a política de vender 70 lugares para um aparelho de 68 assentos. Qual a probabilidade de que não haja excesso de lotação?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados que peguei do enunciado:
- Número de reservas vendidas:
. - Capacidade do avião (lugares disponíveis):
. - Probabilidade de cada pessoa não comparecer (no‑show):
.
- Número de reservas vendidas:
- O enunciado pede: a probabilidade de que não haja excesso de lotação, ou seja, que o número de passageiros que comparecem seja menor ou igual a
.
Passo 2
Modelagem probabilística e ideia geral (passo a passo didático).
- Cada passageiro que reserva comparece com probabilidade
, independentemente dos outros (pressuposição usual em problemas desse tipo). - Defino a variável aleatória
= número de passageiros que comparecem entre os que reservaram. -
segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos isso como . - A fórmula da probabilidade binomial é: para
,
onde
é o número de combinações de
elementos tomados
a
.
Passo 3
Expressar exatamente o evento pedido em termos de
e simplificar a expressão.
- Queremos
: probabilidade de que não ultrapassem os assentos. - Observe que os únicos valores de
que causam excesso são e . Assim
- Agora escrevo as duas probabilidades usando a fórmula binomial:
- Substituindo:
- Posso fatorar
para simplificar a escrita:
Passo 4
Cálculo numérico aproximado (vou mostrar como obter o valor com aproximações plausíveis).
- Preciso avaliar
. Uma forma prática é usar a relação e transformar de volta com exponencial:
- Calculo aproximado de
:
- Então
- Substituo em
:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (conforto para a prova).
- Resultado em termos práticos: cerca de
de chance de que não haja excesso de lotação quando se vendem bilhetes para lugares, assumindo no‑show independente com probabilidade . - Observação alternativa (às vezes útil na prova): também podemos modelar
= número de no‑shows com . Então queremos , e
o que é algebraicamente o mesmo que usamos antes.