1 - Uma companhia de avião chegou à conclusão de que 5 \% das pessoas que fazem reserva num dado voo não comparecem ao embarque. Consequentemente, adotou a política de vender 70 lugares para um aparelho de 68 assentos. Qual a probabilidade de que não haja excesso de lotação?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Número de reservas vendidas: 70.
    • Capacidade do avião (lugares disponíveis): 68.
    • Probabilidade de cada pessoa não comparecer (no‑show): 5\% = 0,05.
  • O enunciado pede: a probabilidade de que não haja excesso de lotação, ou seja, que o número de passageiros que comparecem seja menor ou igual a 68.

Passo 2

Modelagem probabilística e ideia geral (passo a passo didático).
  • Cada passageiro que reserva comparece com probabilidade 1-0,05=0,95, independentemente dos outros (pressuposição usual em problemas desse tipo).
  • Defino a variável aleatória Y = número de passageiros que comparecem entre os 70 que reservaram.
  • Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n=70 e p=0,95. Escrevemos isso como Y\sim\mathrm{Bin}(70,0,95).
  • A fórmula da probabilidade binomial é: para k=0,1,\dots,70,
\Pr(Y=k)=\binom{70}{k}\,0,95^{\,k}\,0,05^{\,70-k},
onde \binom{70}{k} é o número de combinações de 70 elementos tomados k a k.

Passo 3

Expressar exatamente o evento pedido em termos de Y e simplificar a expressão.
  • Queremos \Pr(Y\le 68): probabilidade de que não ultrapassem os 68 assentos.
  • Observe que os únicos valores de Y que causam excesso são Y=69 e Y=70. Assim
\Pr(Y\le 68)=1-\Pr(Y=69)-\Pr(Y=70).
  • Agora escrevo as duas probabilidades usando a fórmula binomial:
\Pr(Y=70)=0,95^{70}, \qquad \Pr(Y=69)=\binom{70}{69}\,0,95^{69}\,0,05=70\cdot0,95^{69}\cdot0,05.
  • Substituindo:
\Pr(Y\le 68)=1-70\cdot0,05\cdot0,95^{69}-0,95^{70}.
  • Posso fatorar 0,95^{69} para simplificar a escrita:
\Pr(Y\le 68)=1-0,95^{69}\bigl(70\cdot0,05+0,95\bigr) =1-0,95^{69}\cdot4,45.

Passo 4

Cálculo numérico aproximado (vou mostrar como obter o valor com aproximações plausíveis).
  • Preciso avaliar 0,95^{69}. Uma forma prática é usar a relação \ln(0,95)\approx-0,051293294 e transformar de volta com exponencial:
0,95^{69}=\exp\bigl(69\ln(0,95)\bigr).
  • Calculo aproximado de 69\ln(0,95):
69\ln(0,95)\approx69\cdot(-0,051293294)\approx-3,539237.
  • Então
0,95^{69}\approx e^{-3,539237}\approx0,02905\quad(\text{aproximação}).çã
  • Substituo em \Pr(Y\le 68)=1-4,45\cdot0,95^{69}:
\Pr(Y\le 68)\approx1-4,45\cdot0,02905\approx1-0,1293\approx0,8707.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (conforto para a prova).
  • Resultado em termos práticos: cerca de 87{,}07\% de chance de que não haja excesso de lotação quando se vendem 70 bilhetes para 68 lugares, assumindo no‑show independente com probabilidade 0,05.
  • Observação alternativa (às vezes útil na prova): também podemos modelar X = número de no‑shows com X\sim\mathrm{Bin}(70,0,05). Então queremos X\ge2, e
\Pr(X\ge2)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1)=1-0,95^{70}-70\cdot0,05\cdot0,95^{69},
o que é algebraicamente o mesmo que usamos antes.

Resposta

0,8707 (aproximadamente 87,07\%)

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