10.1 Uma bomba centrífuga, girando a 3500 rpm , bombeia água a uma taxa de 0,01 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A água entra axialmente, e deixa o rotor a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} relativo às pás, que são radiais na saída. Se a bomba requer 5 kW e tem eficiência de 67 \%, estime as dimensões básicas (diâmetro e largura de saída do rotor), usando a equação de Euler para as turbomáquinas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede estimar as dimensões básicas do rotor (diâmetro e largura na saída):
  • Rotação: 3500\\ \mathrm{rpm}.
  • Vazão volumétrica: Q=0,01\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A água entra axialmente (ou seja, componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é nula).
  • Na saída do rotor as pás são radiais e a velocidade relativa do fluido em relação às pás é w_{2}=5\\ \mathrm{m/s}. Como as pás são radiais, essa velocidade relativa é puramente radial (sem componente tangencial).
  • Potência consumida pelo motor (potência de eixo fornecida à bomba): P_{\text{eixo}}=5\\ \mathrm{kW}.
  • Eficiência hidráulica da bomba: \eta=67\% (ou seja \eta=0,67).
  • Densidade aproximada da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão que usaremos).
O que se pede:
  • Estimar o diâmetro de saída do rotor (ou seja, d_{2}=2r_{2}).
  • Estimar a largura do rotor na saída b_{2}.

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (explicação didática):
  1. Equação de Euler para turbomáquinas (forma prática para bombas):
\Delta h = U_{2} c_{u2} - U_{1} c_{u1},
onde:
  • \Delta h é a elevação específica de energia por unidade de massa fornecida ao fluido (em \mathrm{J/kg}).
  • U = \omega r é a velocidade tangencial da pá em raio r ( \omega em \mathrm{rad/s}).
  • c_{u} é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido.
  • Índices 1 e 2 referem-se à entrada e saída do rotor, respectivamente.
Explicação física curta: a potência hidráulica por unidade de massa que a máquina entrega ao fluido depende do produto da velocidade tangencial do rotor pela componente tangencial da velocidade absoluta do fluido.
  1. Relação entre velocidades absoluta c, relativa w e velocidade da pá U (regra vetorial):
\mathbf{c} = \mathbf{w} + \mathbf{U}.
Portanto, as componentes tangenciais obedecem a c_{u}=w_{u}+U.
No nosso caso:
  • Como a água entra axialmente, a componente tangencial absoluta na entrada é zero: c_{u1}=0.
  • As pás são radiais na saída, e o enunciado diz que a velocidade relativa na saída tem módulo w_{2}=5\\ \mathrm{m/s} e é puramente radial, logo a componente tangencial relativa na saída é w_{u2}=0.
  • Então, a componente tangencial absoluta na saída é simplesmente c_{u2}=U_{2}.
Substituindo na equação de Euler:
\Delta h = U_{2} c_{u2} = U_{2}\,U_{2} = U_{2}^{2}.
  1. Potência hidráulica entregue ao fluido (energia por tempo) é:
P_{\text{hid}} = \dot m \, \Delta h = \rho Q \,\Delta h,
onde \dot m=\rho Q é a vazão mássica.
  1. Relação entre potência de eixo e potência hidráulica com eficiência:
P_{\text{hid}} = \eta \, P_{\text{eixo}}.
  1. Continuidade na saída radial do rotor (área de saída):
    Para saída radial com raio r_{2} e largura b_{2}, a vazão volumétrica é
Q = 2\pi r_{2} b_{2} c_{r2},
onde c_{r2} é a componente radial (meridional) da velocidade absoluta na saída. Como w_{2} é puramente radial e U_{2} é puramente tangencial, a componente radial absoluta é c_{r2}=w_{2}=5\\ \mathrm{m/s}.
Resumo das equações-chave que vamos resolver:
\rho Q U_{2}^{2} = \eta P_{\text{eixo}},
U_{2} = \omega r_{2},\qquad \omega = \frac{2\pi n}{60},
Q = 2\pi r_{2} b_{2} w_{2}.

Passo 3

Calcule a potência hidráulica disponível (valor numérico):
P_{\text{hid}} = \eta P_{\text{eixo}} = 0,67 \times 5000\\ \mathrm{W} = 3350\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Use a relação \rho Q U_{2}^{2} = P_{\text{hid}} para obter U_{2}:
Escrevendo:
U_{2}^{2} = \frac{P_{\text{hid}}}{\rho Q}.
Substituindo números:
U_{2}^{2} = \frac{3350}{1000 \times 0,01} = \frac{3350}{10} = 335\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
Logo:
U_{2} = \sqrt{335}\approx 18{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Breve comentário didático: U_{2} é a velocidade tangencial da pá na periferia; é razoável obtermos uma velocidade da ordem de dezenas de metros por segundo para uma bomba girando rápido.

Passo 5

Converter rotação para velocidade angular e obter o raio r_{2}.
Rotação:
n = 3500\\ \mathrm{rpm} = 3500/60 \approx 58{,}333\\ \mathrm{rev/s}.
Velocidade angular:
\omega = 2\pi n = 2\pi \times 58{,}333\approx 366{,}52\\ \mathrm{rad/s}.
Como U_{2}=\omega r_{2}, temos
r_{2} = \frac{U_{2}}{\omega} = \frac{18{,}3}{366{,}52}\approx 0{,}04995\\ \mathrm{m}\approx 0{,}050\\ \mathrm{m}.
Portanto o diâmetro de saída:
d_{2}=2r_{2}\approx 2\times 0{,}050 = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: isso dá um rotor pequeno (diâmetro de cerca de 10\\ \mathrm{cm}), compatível com a vazão e potência dadas.

Passo 6

Determinar a largura de saída b_{2} usando a equação de continuidade:
Q = 2\pi r_{2} b_{2} c_{r2}.
Aqui c_{r2}=w_{2}=5\\ \mathrm{m/s}. Isolando b_{2}:
b_{2} = \frac{Q}{2\pi r_{2} w_{2}}.
Substituindo valores:
b_{2} = \frac{0{,}01}{2\pi \times 0{,}04995 \times 5}.
Calculando o denominador:
2\pi \times 0{,}04995 \times 5 \approx 6{,}28318 \times 0{,}24975 \approx 1{,}5695.
Logo
b_{2} \approx \frac{0{,}01}{1{,}5695}\approx 0{,}00637\\ \mathrm{m}\approx 6{,}4\\ \mathrm{mm}.
Comentário didático: a largura é pequena (alguns milímetros), faz sentido para um rotor de pequeno diâmetro e vazão baixa; em projetos reais pode-se escolher um diâmetro maior para aumentar a largura e melhorar características de escoamento, mas aqui estamos estimando dimensões básicas a partir dos dados fornecidos.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (ordem de grandeza):
  • Com d_{2}\approx 0{,}10\\ \mathrm{m} e b_{2}\approx 6{,}4\\ \mathrm{mm}, a área de saída é A\approx 2\pi r_{2} b_{2}\approx 1{,}5695\times 0{,}00637\approx 0{,}01/5=0{,}002\\ \mathrm{m^{2}} — consistente com Q=c_{r2}A=5\times 0{,}002=0{,}01\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A energia específica \Delta h = U_{2}^{2}\approx (18{,}3)^{2}\approx 335\\ \mathrm{J/kg} corresponde a uma elevação teórica H=\Delta h/g\approx 335/9{,}81\approx 34{,}1\\ \mathrm{m}, ou seja, a bomba entrega cerca de 34\\ \mathrm{m} de coluna de água hidráulica (valor plausível para uma bomba pequena e rotação alta).

Resposta

Diâmetro de saída d_{2}\approx 0,10\\ \mathrm{m}
Largura de saída b_{2}\approx 0,0064\\ \mathrm{m} \,(6{,}4\\ \mathrm{mm})

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