10.1 Uma bomba centrífuga, girando a 3500 rpm , bombeia água a uma taxa de
. A água entra axialmente, e deixa o rotor a
relativo às pás, que são radiais na saída. Se a bomba requer 5 kW e tem eficiência de
, estime as dimensões básicas (diâmetro e largura de saída do rotor), usando a equação de Euler para as turbomáquinas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede estimar as dimensões básicas do rotor (diâmetro e largura na saída):
- Rotação:
. - Vazão volumétrica:
. - A água entra axialmente (ou seja, componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é nula).
- Na saída do rotor as pás são radiais e a velocidade relativa do fluido em relação às pás é
. Como as pás são radiais, essa velocidade relativa é puramente radial (sem componente tangencial). - Potência consumida pelo motor (potência de eixo fornecida à bomba):
. - Eficiência hidráulica da bomba:
(ou seja ). - Densidade aproximada da água:
(valor padrão que usaremos).
O que se pede:
- Estimar o diâmetro de saída do rotor (ou seja,
). - Estimar a largura do rotor na saída
.
Passo 2
Conceitos e equações que vamos usar (explicação didática):
- Equação de Euler para turbomáquinas (forma prática para bombas):
onde:
-
é a elevação específica de energia por unidade de massa fornecida ao fluido (em ). -
é a velocidade tangencial da pá em raio ( em ). -
é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido. - Índices
e referem-se à entrada e saída do rotor, respectivamente.
Explicação física curta: a potência hidráulica por unidade de massa que a máquina entrega ao fluido depende do produto da velocidade tangencial do rotor pela componente tangencial da velocidade absoluta do fluido.
- Relação entre velocidades absoluta
, relativa e velocidade da pá (regra vetorial):
Portanto, as componentes tangenciais obedecem a
.
No nosso caso:
- Como a água entra axialmente, a componente tangencial absoluta na entrada é zero:
. - As pás são radiais na saída, e o enunciado diz que a velocidade relativa na saída tem módulo
e é puramente radial, logo a componente tangencial relativa na saída é . - Então, a componente tangencial absoluta na saída é simplesmente
.
Substituindo na equação de Euler:
- Potência hidráulica entregue ao fluido (energia por tempo) é:
onde
é a vazão mássica.
- Relação entre potência de eixo e potência hidráulica com eficiência:
- Continuidade na saída radial do rotor (área de saída):
Para saída radial com raioe largura , a vazão volumétrica é
onde
é a componente radial (meridional) da velocidade absoluta na saída. Como
é puramente radial e
é puramente tangencial, a componente radial absoluta é
.
Resumo das equações-chave que vamos resolver:
Passo 3
Calcule a potência hidráulica disponível (valor numérico):
Passo 4
Use a relação
para obter
:
Escrevendo:
Substituindo números:
Logo:
Breve comentário didático:
é a velocidade tangencial da pá na periferia; é razoável obtermos uma velocidade da ordem de dezenas de metros por segundo para uma bomba girando rápido.
Passo 5
Converter rotação para velocidade angular e obter o raio
.
Rotação:
Velocidade angular:
Como
, temos
Portanto o diâmetro de saída:
Comentário prático: isso dá um rotor pequeno (diâmetro de cerca de
), compatível com a vazão e potência dadas.
Passo 6
Determinar a largura de saída
usando a equação de continuidade:
Aqui
. Isolando
:
Substituindo valores:
Calculando o denominador:
Logo
Comentário didático: a largura é pequena (alguns milímetros), faz sentido para um rotor de pequeno diâmetro e vazão baixa; em projetos reais pode-se escolher um diâmetro maior para aumentar a largura e melhorar características de escoamento, mas aqui estamos estimando dimensões básicas a partir dos dados fornecidos.
Passo 7
Verificação rápida de consistência (ordem de grandeza):
- Com
e , a área de saída é — consistente com . - A energia específica
corresponde a uma elevação teórica , ou seja, a bomba entrega cerca de de coluna de água hidráulica (valor plausível para uma bomba pequena e rotação alta).
Resposta
Diâmetro de saída
Largura de saída
Largura de saída