10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Determinar a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero, dado que a vazão volumétrica é 0{,}25\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  2. Calcular a altura de carga teórica (head) da bomba.
  3. Calcular a potência mecânica teórica de entrada na bomba.
Informação explicitamente dada no enunciado que você me passou:
Q = 0{,}25\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Nenhuma outra informação (geometria do rotor, raios, aberturas, ângulos das pás, densidade do fluido, etc.) foi enviada junto com o enunciado.

Passo 2

Importante: não há como obter valores numéricos finais (velocidade de rotação, altura de carga numérica, potência numérica) apenas com Q. O cálculo exige dados do Problema 10.3 que você não me passou. Especifico abaixo exatamente quais dados são necessários — anote isto porque você vai pegar esses números no enunciado ou na figura do Problema 10.3 antes de aplicar os passos seguintes:
  • raio de entrada do rotor: r_1 (m);
  • raio de saída do rotor: r_2 (m);
  • largura (ou espessura) efetiva do canal na entrada: b_1 (m) e na saída: b_2 (m), ou a área de passagem A_1 e A_2 (m^2) se fornecidas;
  • ângulo relativo de entrada das pás (ângulo de entrada do fluxo relativo) \beta_1 e ângulo relativo de saída \beta_2 (em graus ou rad);
  • densidade do fluido \rho (kg/m^3) — se for água normalmente \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3};
  • aceleração da gravidade g (use g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} se não for especificado);
  • confirmar se o fluxo é essencialmente radial (centrífuga) ou axial — isso muda a fórmula da área de entrada/saída.
Como não posso pedir mais informações, vou agora apresentar, passo a passo e de forma didática, o método completo (com todas as fórmulas e a explicação de cada termo) que você deve aplicar usando os valores do Problema 10.3. Assim que você tiver os números, consegue calcular direto seguinte este roteiro.

Passo 3

Definições de variáveis e conceitos básicos (meister-class de turbomáquinas, explicado devagar):
  • Q é a vazão volumétrica dada: Q = 0{,}25\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área meridional (de passagem) no ponto 1 (entrada): A_1 (m^2). Se o canal for anular e a espessura efetiva for b_1, então uma aproximação comum é
A_1 = 2\pi r_1 b_1.
Se o fluxo for axial com diâmetro D_1, então
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4}.
  • Velocidade meridional (também chamada componente radial ou axial, dependendo do tipo) na entrada:
V_{m1} = \frac{Q}{A_1}.
Explique: a vazão Q é o produto da área pela velocidade média que atravessa essa área; por isso para obter a velocidade meridional basta dividir Q por A_1.
  • Velocidade periférica do rotor (velocidade de ponta do veio) num raio r:
U = \omega r,
onde \omega é a velocidade angular (rad/s). Se quiser em rpm, lembre que
N\\ (\mathrm{rpm}) = \frac{\omega}{2\pi}\cdot 60 = \frac{60\omega}{2\pi}.
  • Componentes tangenciais/azimutais e relativas:
    • V_u é a componente tangencial da velocidade absoluta V (velocidade do fluido no referencial fixo).
    • W_u é a componente tangencial da velocidade relativa W (velocidade do fluido vista do referencial do rotor).
    • Relação vetorial importante:
    \mathbf{V} = \mathbf{W} + \mathbf{U}projetando na direção tangencial dá V_u = W_u + U.
  • Ângulo relativo de entrada \beta_1: é o ângulo entre a velocidade relativa W_1 e a direção meridional. Pela trigonometria:
\tan\beta_1 = \frac{W_{u1}}{V_{m1}} \quad\Rightarrow\quad W_{u1} = V_{m1}\tan\beta_1.
Explicando: a componente tangencial relativa W_{u1} é a tangente do ângulo relativo vezes a componente meridional.

Passo 4

Derivação da condição “componente tangencial da velocidade de entrada é zero” e fórmula para a rotação:
  • A condição pedida é que a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada seja zero, ou seja
V_{u1} = 0.
  • Usando V_{u1} = W_{u1} + U_1 e W_{u1} = V_{m1}\tan\beta_1 obtemos
0 = V_{m1}\tan\beta_1 + U_1.
  • Isolando U_1:
U_1 = -\,V_{m1}\tan\beta_1.
Interpretação de sinais: o sinal de \tan\beta_1 depende da convenção do ângulo \beta_1 (se as pás são inclinadas no sentido contrário à rotação, \tan\beta_1 pode ser negativo). Na prática, o que importa é o módulo e o sentido físico: a velocidade periférica U_1 tem que ter a magnitude compatível para cancelar W_{u1}.
  • Como U_1=\omega r_1, a velocidade angular necessária é
\boxed{\displaystyle \omega = -\,\frac{V_{m1}\tan\beta_1}{r_1}.}
Se você preferir em rotações por minuto ( N em rpm):
\boxed{\displaystyle N=\frac{60}{2\pi}\,|\omega| = \frac{60}{2\pi}\,\frac{V_{m1}|\tan\beta_1|}{r_1}},
ajustando o sinal conforme o sentido de rotação. Aqui V_{m1}=Q/A_1. Portanto, para calcular a rotação numérica você precisa de r_1, A_1 (ou b_1), e \beta_1.
Exemplo de uso prático (sem números do seu problema): calcule A_1, calcule V_{m1}=Q/A_1, pegue \beta_1 do desenho/descrição, então aplique \omega da fórmula acima e converta para rpm se desejar.

Passo 5

Cálculo da altura de carga teórica usando a equação de Euler (a mais importante aqui):
  • A forma clássica da equação de Euler para máquinas rotativas (em termos de velocidades tangenciais) é
H_t = \frac{1}{g}\left(U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}\right).
Aqui H_t é a altura de carga teórica em metros. Observações:
  • U_1=\omega r_1 e U_2=\omega r_2.
  • Já estabelecemos a condição V_{u1}=0, então a expressão simplifica para
\boxed{\displaystyle H_t = \frac{U_2 V_{u2}}{g}.}
  • Para achar V_{u2} (componente tangencial absoluta na saída) usamos a mesma decomposição:
V_{u2} = W_{u2} + U_2.
E a componente relativa tangencial na saída relaciona-se com o ângulo relativo de saída \beta_2:
W_{u2} = V_{m2}\tan\beta_2,
onde V_{m2} = \dfrac{Q}{A_2} e A_2 é a área de saída.
  • Assim, passo a passo:
    1. Calcule A_2 (por exemplo A_2=2\pi r_2 b_2 se anular).
    2. Calcule V_{m2} = Q/A_2.
    3. Calcule W_{u2} = V_{m2}\tan\beta_2.
    4. Calcule V_{u2} = W_{u2} + U_2 com U_2=\omega r_2 (use a \omega obtida no Passo 4).
    5. Calcule H_t = U_2 V_{u2}/g.
  • Atenção aos sinais de \tan\beta_2: se \beta_2 for positivo/negativo conforme convenção, mantenha a consistência. Em muitas bombas centrífugas, as pás são curvadas de modo que W_{u2} tenha sinal tal que V_{u2} fique menor/maior que U_2; o método acima cuida disso se você mantiver os sinais.

Passo 6

Cálculo da potência mecânica teórica de entrada:
  • A potência hidráulica teórica fornecida à fluido (potência puramente hidráulica, sem perdas) é
P_{\text{hid}} = \rho\,g\,Q\,H_t,
onde \rho é a densidade do fluido. Se quiser a potência mecânica de eixo necessária para o rotor ideal (teórica, sem perdas mecânicas), é esse P_{\text{hid}}. Em presença de rendimento \eta real, a potência de eixo seria P_{\text{eixo}} = P_{\text{hid}}/\eta.
  • Unidades: \rho em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, Q em \mathrm{m^3/s}, H_t em m, então P_{\text{hid}} sai em watts (W).

Passo 7

Resumo prático do procedimento (o que você faz na prova, passo a passo numérico assim que tiver os dados do Problema 10.3):
  1. Ler do problema: r_1,r_2,b_1,b_2,\beta_1,\beta_2,\rho (ou A_1,A_2).
  2. Calcular A_1 e A_2 conforme a geometria (anular ou axial).
  3. Calcular V_{m1}=Q/A_1 e V_{m2}=Q/A_2.
  4. Usar a fórmula do Passo 4 para obter \omega: \omega = -\frac{V_{m1}\tan\beta_1}{r_1}.Converter para N (rpm) se necessário.
  5. Calcular U_2=\omega r_2.
  6. Calcular W_{u2}=V_{m2}\tan\beta_2 e depois V_{u2}=W_{u2}+U_2.
  7. Calcular H_t = U_2 V_{u2}/g.
  8. Calcular P = \rho g Q H_t.
  9. Verificar sinais e consistência das unidades. Se algo der negativo fisicamente (por exemplo H_t<0), reveja os sinais de ângulos \beta e a convenção de rotação.

Passo 8

Um aviso prático sobre sinais e convenções (eu sei que isso confunde todo mundo):
  • Sempre que pegar \beta na figura, pergunte-se: o ângulo é medido no sentido da rotação ou contra? Em muitas figuras de bombas, \beta é dado como ângulo entre a direção meridional e a pá medida no sentido do fluxo relativo; aí \tan\beta pode ser positivo ou negativo conforme a curvatura das pás.
  • Se preferir evitar a confusão de sinal na prova, trabalhe com módulos e depois ajuste o sentido físico: a fórmula essencial para o módulo de \omega é
|\omega| = \frac{V_{m1}|\tan\beta_1|}{r_1}.
Mas verifique sempre o sentido de rotação exigido pelo problema.

Passo 9

Eu não posso fornecer os números finais sem os dados do Problema 10.3 (raios, larguras/áreas, ângulos, densidade). Mas agora você tem o roteiro completo, com todas as fórmulas e explicações para aplicar direto ao enunciado correto. Se você me enviar os valores de r_1,r_2,b_1,b_2,\beta_1,\beta_2 (ou as áreas A_1,A_2) e \rho, eu faço os cálculos numéricos detalhados passo a passo para você — e a gente passa pelas conversões para rpm e watts também. Vai dar certo, respira, você chega lá!

Resposta

Não é possível determinar numericamente a velocidade de rotação, a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica porque faltam os dados do Problema 10.3 (tais como r_1,r_2,A_1,A_2 ou b_1,b_2, e os ângulos \beta_1,\beta_2 e a densidade \rho). Use as fórmulas abaixo com os dados do Problema 10.3 para obter as respostas numéricas:
V_{m1}=\frac{Q}{A_1},\qquad \omega=-\frac{V_{m1}\tan\beta_1}{r_1},\qquad H_t=\frac{U_2V_{u2}}{g}\quad\text{com }U_2=\omega r_2,\\ V_{u2}=V_{m2}\tan\beta_2+U_2,
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_t.

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