10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for
. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Determinar a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero, dado que a vazão volumétrica é
. - Calcular a altura de carga teórica (head) da bomba.
- Calcular a potência mecânica teórica de entrada na bomba.
Informação explicitamente dada no enunciado que você me passou:
Nenhuma outra informação (geometria do rotor, raios, aberturas, ângulos das pás, densidade do fluido, etc.) foi enviada junto com o enunciado.
Passo 2
Importante: não há como obter valores numéricos finais (velocidade de rotação, altura de carga numérica, potência numérica) apenas com
. O cálculo exige dados do Problema 10.3 que você não me passou. Especifico abaixo exatamente quais dados são necessários — anote isto porque você vai pegar esses números no enunciado ou na figura do Problema 10.3 antes de aplicar os passos seguintes:
- raio de entrada do rotor:
(m); - raio de saída do rotor:
(m); - largura (ou espessura) efetiva do canal na entrada:
(m) e na saída: (m), ou a área de passagem e (m^2) se fornecidas; - ângulo relativo de entrada das pás (ângulo de entrada do fluxo relativo)
e ângulo relativo de saída (em graus ou rad); - densidade do fluido
(kg/m^3) — se for água normalmente ; - aceleração da gravidade
(use se não for especificado); - confirmar se o fluxo é essencialmente radial (centrífuga) ou axial — isso muda a fórmula da área de entrada/saída.
Como não posso pedir mais informações, vou agora apresentar, passo a passo e de forma didática, o método completo (com todas as fórmulas e a explicação de cada termo) que você deve aplicar usando os valores do Problema 10.3. Assim que você tiver os números, consegue calcular direto seguinte este roteiro.
Passo 3
Definições de variáveis e conceitos básicos (meister-class de turbomáquinas, explicado devagar):
-
é a vazão volumétrica dada: . - Área meridional (de passagem) no ponto 1 (entrada):
(m^2). Se o canal for anular e a espessura efetiva for , então uma aproximação comum é
Se o fluxo for axial com diâmetro
, então
- Velocidade meridional (também chamada componente radial ou axial, dependendo do tipo) na entrada:
Explique: a vazão
é o produto da área pela velocidade média que atravessa essa área; por isso para obter a velocidade meridional basta dividir
por
.
- Velocidade periférica do rotor (velocidade de ponta do veio) num raio
:
onde
é a velocidade angular (rad/s). Se quiser em rpm, lembre que
- Componentes tangenciais/azimutais e relativas:
-
é a componente tangencial da velocidade absoluta (velocidade do fluido no referencial fixo). -
é a componente tangencial da velocidade relativa (velocidade do fluido vista do referencial do rotor). - Relação vetorial importante:
projetando na direção tangencial dá -
- Ângulo relativo de entrada
: é o ângulo entre a velocidade relativa e a direção meridional. Pela trigonometria:
Explicando: a componente tangencial relativa
é a tangente do ângulo relativo vezes a componente meridional.
Passo 4
Derivação da condição “componente tangencial da velocidade de entrada é zero” e fórmula para a rotação:
- A condição pedida é que a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada seja zero, ou seja
- Usando
e obtemos
- Isolando
:
Interpretação de sinais: o sinal de
depende da convenção do ângulo
(se as pás são inclinadas no sentido contrário à rotação,
pode ser negativo). Na prática, o que importa é o módulo e o sentido físico: a velocidade periférica
tem que ter a magnitude compatível para cancelar
.
- Como
, a velocidade angular necessária é
Se você preferir em rotações por minuto (
em rpm):
ajustando o sinal conforme o sentido de rotação. Aqui
. Portanto, para calcular a rotação numérica você precisa de
,
(ou
), e
.
Exemplo de uso prático (sem números do seu problema): calcule
, calcule
, pegue
do desenho/descrição, então aplique
da fórmula acima e converta para rpm se desejar.
Passo 5
Cálculo da altura de carga teórica usando a equação de Euler (a mais importante aqui):
- A forma clássica da equação de Euler para máquinas rotativas (em termos de velocidades tangenciais) é
Aqui
é a altura de carga teórica em metros. Observações:
-
e . - Já estabelecemos a condição
, então a expressão simplifica para
- Para achar
(componente tangencial absoluta na saída) usamos a mesma decomposição:
E a componente relativa tangencial na saída relaciona-se com o ângulo relativo de saída
:
onde
e
é a área de saída.
- Assim, passo a passo:
- Calcule
(por exemplo se anular). - Calcule
. - Calcule
. - Calcule
com (use a obtida no Passo 4). - Calcule
.
- Calcule
- Atenção aos sinais de
: se for positivo/negativo conforme convenção, mantenha a consistência. Em muitas bombas centrífugas, as pás são curvadas de modo que tenha sinal tal que fique menor/maior que ; o método acima cuida disso se você mantiver os sinais.
Passo 6
Cálculo da potência mecânica teórica de entrada:
- A potência hidráulica teórica fornecida à fluido (potência puramente hidráulica, sem perdas) é
onde
é a densidade do fluido. Se quiser a potência mecânica de eixo necessária para o rotor ideal (teórica, sem perdas mecânicas), é esse
. Em presença de rendimento
real, a potência de eixo seria
.
- Unidades:
em , em , em , em m, então sai em watts (W).
Passo 7
Resumo prático do procedimento (o que você faz na prova, passo a passo numérico assim que tiver os dados do Problema 10.3):
- Ler do problema:
(ou ). - Calcular
e conforme a geometria (anular ou axial). - Calcular
e . - Usar a fórmula do Passo 4 para obter
: Converter para (rpm) se necessário. - Calcular
. - Calcular
e depois . - Calcular
. - Calcular
. - Verificar sinais e consistência das unidades. Se algo der negativo fisicamente (por exemplo
), reveja os sinais de ângulos e a convenção de rotação.
Passo 8
Um aviso prático sobre sinais e convenções (eu sei que isso confunde todo mundo):
- Sempre que pegar
na figura, pergunte-se: o ângulo é medido no sentido da rotação ou contra? Em muitas figuras de bombas, é dado como ângulo entre a direção meridional e a pá medida no sentido do fluxo relativo; aí pode ser positivo ou negativo conforme a curvatura das pás. - Se preferir evitar a confusão de sinal na prova, trabalhe com módulos e depois ajuste o sentido físico: a fórmula essencial para o módulo de
é
Mas verifique sempre o sentido de rotação exigido pelo problema.
Passo 9
Eu não posso fornecer os números finais sem os dados do Problema 10.3 (raios, larguras/áreas, ângulos, densidade). Mas agora você tem o roteiro completo, com todas as fórmulas e explicações para aplicar direto ao enunciado correto. Se você me enviar os valores de
(ou as áreas
) e
, eu faço os cálculos numéricos detalhados passo a passo para você — e a gente passa pelas conversões para rpm e watts também. Vai dar certo, respira, você chega lá!
Resposta
Não é possível determinar numericamente a velocidade de rotação, a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica porque faltam os dados do Problema 10.3 (tais como
ou
, e os ângulos
e a densidade
). Use as fórmulas abaixo com os dados do Problema 10.3 para obter as respostas numéricas: