(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyl[2^x - 3^xr]. O conteúdo é limite de funções exponenciais, e vamos precisar usar as propriedades de crescimento e decaimento de exponenciais (se a base for maior que 1, a^x cresce para +∞; se estiver entre 0 e 1, a^x decai para 0) e fatorar para comparar as taxas.

Passo 2

Para comparar as duas exponenciais, fatoramos 3^x. Assim temos:
2^x - 3^x = 3^xl[l(tfrac23r)^x - 1r]

Passo 3

Agora note que 0, logo l(tfrac23r)^xto0 quando xtoinfty. Além disso, como a base 3 é maior que 1, 3^xto+infty. Portanto o fator 3^x cresce sem limite e o colchete tende a 0 - 1 = -1. Multiplicando essas duas informações, o produto 3^xcdotl[(2/3)^x -1r] tende a (+infty)times(-1) = -infty.

Resposta

-\infty

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