(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to infty lnl(tfracxx+1r)
Estamos na matéria de limites e vamos usar propriedade de limites de funções e continuidade do logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a fração de forma mais conveniente:
$$
\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{x}}$$
Aqui usamos a ideia de colocar x em evidência no denominador.

Passo 3

Analisamos o limite da fração interna: quando xtoinfty, temos 1/xto 0, logo
11+tfrac1xto 11+0=1
Isso mostra que o argumento do ln tende a 1.

Passo 4

Como o logaritmo natural é contínuo em (0,infty), podemos trocar a operação de limite com o ln. Assim,
limx to infty lnl(tfracxx+1r)=lnl(limx to inftytfracxx+1r)=ln(1)

Resposta

0

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