(9) Aplique a definição para provar que lim x +infty log 2 x=+infty.

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que limx to +infty log2 x = +infty. O conteúdo é limites infinitos, e vamos usar a definição de limite que diz como " f(x) cresce sem limites".

Passo 2

A definição de limx to +infty f(x)=+infty é: para todo M>0 existe N>0 tal que, sempre que x>N, temos f(x)>M. Vamos aplicar isso à função f(x)=log2 x.

Passo 3

Para satisfazer log2 x > M, lembramos que a função log2 é crescente. Então basta reescrever a desigualdade em termos de x:
log2 x > M Long<=ftrightarrow x > 2^M

Passo 4

Logo, escolhendo N = 2^M, garantimos que sempre que x>N teremos log2 x > M. Isso coincide exatamente com a definição de limite infinito, provando que log2 x cresce sem limite quando xto+infty.

Resposta

Pelo critério de limite infinito, como para todo M>0 podemos tomar N=2^M e obter sempre x>Nimplies log2 x>M, concluímos que limxto+inftylog2 x=+infty.

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