(9) Aplique a definição para provar que
.
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que
. O conteúdo é limites infinitos, e vamos usar a definição de limite que diz como "
cresce sem limites".
Passo 2
A definição de
é: para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
. Vamos aplicar isso à função
.
Passo 3
Para satisfazer
, lembramos que a função
é crescente. Então basta reescrever a desigualdade em termos de
:
Passo 4
Logo, escolhendo
, garantimos que sempre que
teremos
. Isso coincide exatamente com a definição de limite infinito, provando que
cresce sem limite quando
.
Resposta
Pelo critério de limite infinito, como para todo
podemos tomar
e obter sempre
, concluímos que
.