13- Um dado escoamento tem as seguintes características:
  • Escoamento bidimensional em x_{2} e x_{3} :
  • O comprimento característico a, localizado na direção x_{3} é muito menor que o comprimento característico b localizado na direção x_{2};
  • Escoamento incompressível em regime transiente, com gradientes de pressio e influência de forças gravitacionais;
Mostre, executando análise de escala nos termos convectivo e difusivo, como ficarão as componentes da equação de Navier-Stokes simplificadas para este escoamento.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento incompressível bidimensional nas direções x_{2} e x_{3}, com comprimento característico longo em x_{2} (denotado por b) e curto em x_{3} (denotado por a), sendo a\ll b. Há variação temporal, gradiente de pressão e gravidade. Vamos aplicar análise de escala aos termos convectivo e difusivo da equação de Navier–Stokes para identificar quais termos são dominantes e simplificar cada componente.

Passo 2

Definimos as escalas características: velocidade típica na direção x_{2} como U, comprimento em x_{2} como b, comprimento em x_{3} como a, e tempo típico
T \sim \frac{b}{U}\,.
Pela continuidade incompressível
\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}=0
temos a escala da velocidade em x_{3} como
U_{3}\sim\frac{a}{b}\,U\equiv \varepsilon\,U,
onde \varepsilon = a/b\ll1.

Passo 3

Escala dos termos convectivos na equação de momento para a componente u_{2}:
u_{2}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}\sim\frac{U^{2}}{b}, \quad u_{3}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}\sim\varepsilon\,U\;\frac{U}{a} =\frac{\varepsilon\,U^{2}}{a} =\frac{U^{2}}{b},
isto é, ambos são da ordem U^{2}/b. Para a componente u_{3}:
u_{2}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}\sim U\;\frac{\varepsilon\,U}{b} =\varepsilon\,\frac{U^{2}}{b}, \quad u_{3}\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}\sim\varepsilon\,U\;\frac{\varepsilon\,U}{a} =\varepsilon^{2}\,\frac{U^{2}}{a} =\varepsilon\,\frac{U^{2}}{b}\,.
Logo, no momento x_{3} todos os termos convectivos são menores por fator \varepsilon.

Passo 4

Escala dos termos difusivos (viscosidade cinemática \nu) para u_{2}:
\nu\frac{\partial^{2}u_{2}}{\partial x_{2}^{2}}\sim\nu\,\frac{U}{b^{2}}, \quad \nu\frac{\partial^{2}u_{2}}{\partial x_{3}^{2}}\sim\nu\,\frac{U}{a^{2}} =\frac{1}{\varepsilon^{2}}\,\nu\,\frac{U}{b^{2}}.
O termo \partial^{2}/\partial x_{3}^{2} domina sobre \partial^{2}/\partial x_{2}^{2} por fator 1/\varepsilon^{2}. Para u_{3} ocorre similar hierarquia.

Passo 5

Introduzindo o número de Reynolds Re = U\,b/\nu, escrevemos os termos principais da equação de momento em x_{2} de forma adimensional (usando escalas acima):
\rho\left(\frac{\partial u_{2}}{\partial t}+u_{j}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{j}}\right) \sim \rho\,\frac{U^{2}}{b}, \quad \frac{\partial p}{\partial x_{2}}\sim\frac{P}{b}, \quad \mu\,\frac{\partial^{2}u_{2}}{\partial x_{3}^{2}}\sim\mu\,\frac{U}{a^{2}}.
Comparando inércia e viscosidade
\frac{\rho\,U^{2}/b}{\mu\,U/a^{2}} =\frac{\rho\,U\,a^{2}}{\mu\,b} =\;Re\;\varepsilon^{2}\,.
Se Re\,\varepsilon^{2}\ll1, inércia é pequena ante a difusão em x_{3}. Mesmo sem desprezar Re\,\varepsilon^{2}, nunca desprezamos o termo difusivo em x_{3} pois ele é amplificado por 1/\varepsilon^{2}.

Passo 6

Em consequência, a componente x_{2} simplificada (dimensional) retém apenas a difusão em x_{3}, o gradiente de pressão em x_{2} e a gravidade g_{2}, e eventualmente o termo transiente se Re\,\varepsilon^{2} não for tão pequeno:
\rho\frac{\partial u_{2}}{\partial t} +\cancel{\rho\,(u_{2}\partial_{2}u_{2}+u_{3}\partial_{3}u_{2})} = -\frac{\partial p}{\partial x_{2}} +\mu\,\frac{\partial^{2}u_{2}}{\partial x_{3}^{2}} +\rho\,g_{2}.

Passo 7

Na componente x_{3}, todos os termos convectivos são de ordem \varepsilon menores e a difusão em x_{2} é \varepsilon^{2} menor que em x_{3}. Assim, para equilíbrio de maior ordem surge o balanço hidroestático transversal:
\cancel{\rho\,\frac{\partial u_{3}}{\partial t}} +\cancel{\rho\,(u_{j}\partial_{j}u_{3})} = -\frac{\partial p}{\partial x_{3}} +\cancel{\mu\frac{\partial^{2}u_{3}}{\partial x_{3}^{2}}} +\rho\,g_{3}, \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial x_{3}}=\rho\,g_{3}.

Resposta

Com a análise de escala, as equações simplificadas ficam:
\rho\frac{\partial u_{2}}{\partial t} =-\frac{\partial p}{\partial x_{2}} +\mu\,\frac{\partial^{2}u_{2}}{\partial x_{3}^{2}} +\rho\,g_{2},
\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=\rho\,g_{3}.

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