12- Dados os seguintes potenciais de velocidade:
\begin{aligned} & \phi_{1}=\sin ^{2} x_{1} \\\ & \phi_{2}=\cos ^{2} x_{1} \end{aligned}
Qual é a configuraçāo das linhas de corrente do escoamento resultante da superposição destes potenciais?

Passo 1

O enunciado dá dois potenciais de velocidade unidimensionais em função de x_{1}:
\phi_{1}(x_{1}) = \sin^{2}x_{1}, \qquad \phi_{2}(x_{1}) = \cos^{2}x_{1}.
O que precisamos lembrar é que, em escoamentos de potencial, a velocidade \mathbf{v} é o gradiente do potencial, isto é
\mathbf{v} = \nabla\varphi.
Como os dois potenciais só dependem de x_{1}, o campo de velocidade resultante também só terá componente em x_{1}.

Passo 2

Primeiro calculamos o potencial resultante pela superposição linear:
\varphi(x_{1}) = \phi_{1}(x_{1}) + \phi_{2}(x_{1}) = \sin^{2}x_{1} + \cos^{2}x_{1}.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1, logo
\varphi(x_{1}) = 1,
constante.

Passo 3

Agora obtemos o campo de velocidades tomando o gradiente de \varphi. Em coordenadas cartesianas 2D (x_{1},x_{2}),
u = \frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}, \qquad v = \frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}.
Como \varphi é constante, temos
u = \frac{d}{dx_{1}}(1) = 0, \qquad v = \frac{\partial}{\partial x_{2}}(1) = 0.
Portanto o vetor velocidade é
\mathbf{v} = (u,v) = (0,0)
em todo ponto.

Passo 4

Se \mathbf{v} = \mathbf{0} em toda parte, o escoamento está completamente estacionário (fluxo nulo). Num escoamento imóvel, todas as curvas são trivially linhas de corrente, pois não há direção preferencial de movimento.

Resposta

O campo de velocidades resultante é nulo em todo o domínio, ou seja, o fluido está em repouso. Dessa forma, não há um padrão de linhas de corrente único — todo traço no plano pode ser considerado uma linha de corrente, pois não existe fluxo.

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