10 - Um carro a 53 \mathrm{~km} / \mathrm{h} se choca com um pilar de uma ponte. Um passageiro do carro se desloca para a frente de uma distância de 65 cm (em relação à estrada) até ser imobilizado por um airbag inflado. Qual é o módulo da força (suposta constante) que atua sobre o tronco do passageiro, que tem uma massa de 41 kg ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Velocidade inicial do carro (do passageiro em relação à estrada): v_0 = 53\\ \mathrm{km/h}.
  • Deslocamento do tronco do passageiro até ser imobilizado pelo airbag (em relação à estrada): d = 65\\ \mathrm{cm}.
  • Massa do passageiro (tronco considerado): m = 41\\ \mathrm{kg}.
O que é pedido:
  • O módulo da força (supondo constante) que atua sobre o tronco do passageiro enquanto ele é imobilizado pelo airbag.

Passo 2

Primeiro converto todas as unidades para o sistema internacional (SI).
  • Converter velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A relação é multiplicar por \dfrac{5}{18}.
v_0 = 53\cdot\dfrac{5}{18} = \dfrac{265}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Em valor decimal aproximado:
v_0 \approx 14{,}72\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter deslocamento de centímetros para metros:
d = 65\\ \mathrm{cm} = 0{,}65\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Vou usar uma ideia física simples e direta, explicando-a bem: o Teorema Trabalho-Energia (ou conservação da energia através do trabalho).
A ideia: quando uma força constante F faz trabalho sobre um corpo que tem velocidade inicial v_0 e termina parado, o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia cinética do corpo. Como o corpo para, a variação da energia cinética é a energia cinética inicial (com sinal negativo se pensarmos no trabalho da força de retenção), em módulo:
  • Energia cinética inicial:
K_0 = \tfrac{1}{2} m v_0^2,
onde m é a massa (em kg) e v_0 é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • Trabalho realizado pela força constante que pára o passageiro, em módulo, é:
W = F\,d,
onde d é o deslocamento ao longo do qual a força atua (em metros) e F é o módulo da força (em newtons).
Igualando trabalho e variação de energia (em módulo):
F\,d = \tfrac{1}{2} m v_0^2.
Dessa igualdade podemos isolar F:
F = \dfrac{\tfrac{1}{2} m v_0^2}{d} = \dfrac{m v_0^2}{2d}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • F: módulo da força constante que atua sobre o tronco (o que queremos).
  • m: massa do tronco (dada).
  • v_0: velocidade inicial do tronco em relação à estrada (antes do choque).
  • d: distância sobre a qual a força age até a parada.

Passo 4

Agora substituo os valores conhecidos na fórmula
F = \dfrac{m v_0^2}{2d}.
Usando a forma fracionária exata para v_0 (mais exatidão):
v_0 = \dfrac{265}{18}\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_0^2 = \dfrac{265^2}{18^2} = \dfrac{70225}{324}.
Substituindo em F:
F = \dfrac{41\cdot \dfrac{70225}{324}}{2\cdot 0{,}65} = \dfrac{41\cdot 70225}{648\cdot 0{,}65}.

Passo 5

Faço as contas numéricas passo a passo.
  • Primeiro calcular a energia cinética inicial (meio m v_0^2):
\tfrac{1}{2} m v_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 41\cdot \dfrac{70225}{324} = \dfrac{41\cdot 70225}{648} = \dfrac{2\,879\,225}{648}\\ \mathrm{J}.
Em valor decimal:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 \approx 4\,443{,}248\\ \mathrm{J}.
  • Agora a força (dividindo a energia pelo deslocamento d=0{,}65\\ \mathrm{m}):
F = \dfrac{4\,443{,}248\\ \mathrm{J}}{0{,}65\\ \mathrm{m}} \approx 6\,835{,}766\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma sensata (duas ou três cifras significativas) para apresentação:
F \approx 6{,}84\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Comentário final rápido: o sinal negativo do trabalho (se fosse tratado vetorialmente) indica que a força atua no sentido oposto ao movimento; aqui foi pedido o módulo, então dei o valor positivo.

Resposta

6{,}84\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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