1 - Se um corpo padrăo de 1 Kg tem uma aceleração de 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} a 20^{\circ} em relação ao sentido positivo do eixo x, quais são (a) A componente x (b) A componente do eixo y da força resultante atuando sobre o corpo(c) Qual é a força resultante em termos dos vetores unitários?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Massa do corpo: m=1{,}00\\ \mathrm{kg}.
    • Aceleração do corpo: magnitude a=2{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}} e direção a 20^\circ em relação ao sentido positivo do eixo x.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a componente no eixo x da força resultante atuando sobre o corpo?
    (b) Qual é a componente no eixo y da força resultante atuando sobre o corpo?
    (c) Qual é a força resultante em termos dos vetores unitários (forma vetorial)?

Passo 2

Lembrando a lei que liga força, massa e aceleração: a segunda lei de Newton diz que a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração. Vou escrever isso de forma vetorial:
\vec{F} = m\,\vec{a}.
Aqui, \vec{F} é o vetor força resultante, m é a massa (um escalar) e \vec{a} é o vetor aceleração.

Passo 3

Explicar como obter as componentes de um vetor quando se conhece sua magnitude e a direção (ângulo).
  • Se um vetor tem magnitude A e forma um ângulo \theta com o eixo x positivo, suas componentes cartesianas são dadas por:
A_x = A\cos\theta,\qquad A_y = A\sin\theta.
Essas fórmulas vêm da geometria do triângulo retângulo formado ao decompor o vetor nas direções x e y: o cosseno dá a razão da projeção no eixo x e o seno dá a razão da projeção no eixo y.

Passo 4

Aplicar essas ideias à aceleração e depois à força.
  • Como \vec{a} tem magnitude a e ângulo \theta=20^\circ, as componentes da aceleração são
a_x = a\cos20^\circ,\qquad a_y = a\sin20^\circ.
  • Multiplicando por m (já que \vec{F}=m\vec{a}), as componentes da força são
F_x = m\,a_x = m\,a\cos20^\circ,\qquad F_y = m\,a_y = m\,a\sin20^\circ.

Passo 5

Substituir os números fornecidos e calcular numericamente.
  • Substituindo m=1{,}00\\ \mathrm{kg} e a=2{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}:
F_x = 1{,}00\cdot 2{,}00\cdot\cos20^\circ = 2{,}00\cos20^\circ,
F_y = 1{,}00\cdot 2{,}00\cdot\sin20^\circ = 2{,}00\sin20^\circ.
  • Valores trigonométricos (aproximações úteis para a prova):
    • \cos20^\circ \approx 0{,}9396926,
    • \sin20^\circ \approx 0{,}3420201.
  • Multiplicando:
F_x \approx 2{,}00\times 0{,}9396926 \approx 1{,}8793852\\ \mathrm{N}\approx 1{,}88\\ \mathrm{N},
F_y \approx 2{,}00\times 0{,}3420201 \approx 0{,}6840402\\ \mathrm{N}\approx 0{,}684\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Escrever a força resultante na forma vetorial com vetores unitários.
  • Em termos dos versores \hat{\mathbf{i}} (eixo x) e \hat{\mathbf{j}} (eixo y):
\vec{F} = F_x\,\hat{\mathbf{i}} + F_y\,\hat{\mathbf{j}} = 2\cos20^\circ\,\hat{\mathbf{i}} + 2\sin20^\circ\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Usando os valores numéricos arredondados:
\vec{F}\approx 1{,}88\\ \hat{\mathbf{i}} + 0{,}684\\ \hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{N}).

Passo 7

Verificação rápida (checagem de consistência): a magnitude do vetor força deve ser m a = 2{,}00\\ \mathrm{N}.
  • Calcular \sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}:
\sqrt{(1{,}8793852)^{2}+(0{,}6840402)^{2}}\approx\sqrt{3{,}53209+0{,}46791}\approx\sqrt{4{,}00000}=2{,}00\\ \mathrm{N},
o que confirma que os componentes estão corretos.

Resposta

(a) F_x = 2\cos20^\circ \approx 1{,}88\\ \mathrm{N}
(b) F_y = 2\sin20^\circ \approx 0{,}684\\ \mathrm{N}
(c) \vec{F} = 2\cos20^\circ\,\hat{\mathbf{i}} + 2\sin20^\circ\,\hat{\mathbf{j}} \approx 1{,}88\,\hat{\mathbf{i}} + 0{,}684\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{(N)}

Exercícios relacionados