10^circ ) Dada a função z=y^2 e^x^2, determine partial^4 zpartial x partial y^2 partial x.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
z(x,y)=y^2e^x^2
e queremos calcular a derivada mista de quarta ordem
partial^4zpartial x,partial y^2,partial x,
isto é, primeiro diferenciamos em x, depois duas vezes em y e por fim mais uma vez em x. Vamos usar que as derivadas parciais de funções C^infty comutam (teorema de Clairaut).

Passo 2

Calculamos primeiro
partial zpartial x =partialpartial xl(y^2e^x^2r) = y^2cdot 2x,e^x^2 =2x,y^2e^x^2

Passo 3

Agora derivamos duas vezes em y:
partialpartial yl(2x,y^2e^x^2r) =2xcdot 2y,e^x^2 =4x,y,e^x^2,
e em seguida
partial^2partial y^2l(2x,y^2e^x^2r) =partialpartial yl(4x,y,e^x^2r) =4x,e^x^2

Passo 4

Por fim, derivamos esse resultado em x:
partialpartial xl(4x,e^x^2r) =4,e^x^2+4xcdot 2x,e^x^2 =4,e^x^2+8x^2e^x^2 =4l(1+2x^2r)e^x^2

Resposta

partial^4zpartial x,partial y^2,partial x =4l(1+2x^2r)e^x^2

Exercícios relacionados