10^{\circ} ) Determine a diferencial total das funções abaixo:
z=\operatorname{sen}^{2}(x y)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de
z = \sin^{2}(x y).
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções compostas e o conceito de diferencial total, segundo o qual, se z=f(u) e u=g(x,y), então
dz = f'(u)\,du.

Passo 2

Identificamos a função externa e a função interna:
u = x\,y, \quad z = \sin^{2}(u).
Usaremos a regra da cadeia: primeiro calculamos du, depois dz = \frac{d}{du}[\sin^{2}(u)]\,du.

Passo 3

Calculamos du como diferencial de u=x\,y. Usando que d(xy)=y\,dx + x\,dy, obtemos
du = y\,dx + x\,dy.

Passo 4

Derivamos z em relação a u:
\frac{d}{du}\bigl(\sin^{2}(u)\bigr) = 2\,\sin(u)\,\cos(u) = \sin\bigl(2u\bigr).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
dz = \sin\bigl(2u\bigr)\,du = \sin\bigl(2\,x\,y\bigr)\bigl(y\,dx + x\,dy\bigr).

Resposta

dz = \sin\bigl(2xy\bigr)\,(y\,dx + x\,dy).

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