) Mostre, usando a definição de diferenciabilidade que
é diferenciável em
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de diferenciabilidade, que
é diferenciável em
.
Vamos usar a definição que diz que é diferenciável em
se existe uma aplicação linear
tal que
Vamos usar a definição que diz que
Para encontrar
, vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
e a parcial em relação a
é
Logo, no ponto fixo
, temos
como candidato à aplicação linear de melhor aproximação.
Passo 3
Vamos avaliar o quociente da definição usando esse
. Primeiro calculemos
Subtraindo
e
, obtemos o resto
Passo 4
Para verificar a condição de diferenciabilidade, analisamos
Observamos que
então
Como
quando
, segue que
Passo 5
Como encontramos uma aplicação linear
que satisfaz
concluímos que
é diferenciável em
. Como
era genérico,
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em
.