2^{\circ} ) Mostre, usando a definição de diferenciabilidade que f(x, y)=2 x^{2}+y^{2} é diferenciável em \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de diferenciabilidade, que
f(x,y)=2x^{2}+y^{2}
é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.
Vamos usar a definição que diz que f é diferenciável em (x_{0},y_{0}) se existe uma aplicação linear L tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Para encontrar L, vamos calcular as derivadas parciais de f.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr) =4x,
e a parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr) =2y.
Logo, no ponto fixo (x_{0},y_{0}), temos
L(h,k)=4x_{0}\,h+2y_{0}\,k
como candidato à aplicação linear de melhor aproximação.

Passo 3

Vamos avaliar o quociente da definição usando esse L. Primeiro calculemos
f(x_{0}+h,y_{0}+k) =2(x_{0}+h)^{2}+(y_{0}+k)^{2} =2x_{0}^{2}+4x_{0}h+2h^{2}+y_{0}^{2}+2y_{0}k+k^{2}.
Subtraindo f(x_{0},y_{0})=2x_{0}^{2}+y_{0}^{2} e L(h,k)=4x_{0}h+2y_{0}k, obtemos o resto
R(h,k) =f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k) =2h^{2}+k^{2}.

Passo 4

Para verificar a condição de diferenciabilidade, analisamos
\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =\frac{2h^{2}+k^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}.
Observamos que
2h^{2}+k^{2}\le 2\bigl(h^{2}+k^{2}\bigr),
então
0\le \frac{2h^{2}+k^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} \le \frac{2\bigl(h^{2}+k^{2}\bigr)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =2\sqrt{h^{2}+k^{2}}.
Como \sqrt{h^{2}+k^{2}}\to 0 quando (h,k)\to(0,0), segue que
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =0.

Passo 5

Como encontramos uma aplicação linear L(h,k)=4x_{0}h+2y_{0}k que satisfaz
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =0,
concluímos que f é diferenciável em (x_{0},y_{0}). Como (x_{0},y_{0}) era genérico, f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função f(x,y)=2x^{2}+y^{2} é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.

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