10^{\circ} ) Determine a diferencial total das funções abaixo:
w=y e^{-2 x}-3 x^{4}

Passo 1

O enunciado apresenta a função de duas variáveis
w(x,y)=y\,e^{-2x}-3x^{4}
e pede para encontrar a diferencial total de w.
Conteúdo: diferencial total de uma função de duas variáveis, que se obtém calculando as derivadas parciais e montando
\mathrm{d}w = \frac{\partial w}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial w}{\partial y}\,\mathrm{d}y.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de w.
Para \partial w/\partial x, trata-se de derivar y\,e^{-2x} em relação a x (considerando y constante) e -3x^4:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = y\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(e^{-2x}\bigr) = y\cdot(-2)\,e^{-2x} = -2\,y\,e^{-2x},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3x^4\bigr) = -12x^3.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = -2\,y\,e^{-2x} \;-\; 12\,x^3.
Para \partial w/\partial y, só há o termo y\,e^{-2x}, em que x é tratado como constante:
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{-2x}.

Passo 3

Substituir as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
\mathrm{d}w = \frac{\partial w}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial w}{\partial y}\,\mathrm{d}y = \bigl(-2\,y\,e^{-2x}-12\,x^3\bigr)\,\mathrm{d}x + e^{-2x}\,\mathrm{d}y.

Resposta

\boxed{\mathrm{d}w = \bigl(-2\,y\,e^{-2x} - 12\,x^3\bigr)\,\mathrm{d}x \;+\; e^{-2x}\,\mathrm{d}y.}

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