10^{\circ} Um grande duto de chapa galvanizada sem revestimento com um diâmetro de 30 cm passa horizontalmente através de uma área de fábrica com condições ambientais de 20^{\circ} \mathrm{C}. O comprimento do duto é 100 m . Dentro do duto, um fluxo de vapor de baixa pressão mantém a temperatura da parede do duto constante a 120^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o calor total perdido por convecção do duto para a sala.

Passo 1

Resumo do enunciado e dados fornecidos:
  • Um duto cilíndrico horizontal, sem isolamento, com diâmetro D=0{,}30\\ \mathrm{m} e comprimento L=100\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da parede do duto (constante): T_w=120^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Pedem: o calor total perdido por convecção do duto para a sala (ou seja, a taxa de transferência de calor \dot{Q} por convecção).

Passo 2

Escolha do método:
  • Não há informação de ventilação/ventos, então assumimos que o transporte térmico é por convecção natural (livre).
  • Para convecção natural ao redor de um cilindro horizontal usa-se uma correlação empírica para o número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_D baseada no número de Rayleigh \mathrm{Ra}_D.
  • Vou usar a correlação de Churchill e Chu (amplamente usada e válida para grande faixa de \mathrm{Ra}):
\mathrm{Nu}_D = 0{,}60 + \dfrac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_D^{1/6}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}
Explico cada termo e calculo passo a passo a seguir.

Passo 3

Temperatura de filme e conversão para Kelvin:
  • A temperatura de filme (média entre parede e ambiente) é usada para avaliar propriedades do ar:
T_f = \frac{T_w + T_\infty}{2} = \frac{120^\circ\mathrm{C} + 20^\circ\mathrm{C}}{2} = 70^\circ\mathrm{C}.
  • Em Kelvin:
T_f = 70^\circ\mathrm{C} = 70 + 273{,}15 = 343{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Propriedades do ar no T_f (valores típicos de tabela de propriedades do ar à 70^\circ\mathrm{C}):
  • Condutividade térmica: k \approx 0{,}0307\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • Cinetidade kinemática: \nu \approx 2{,}20\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
  • Prandtl: \mathrm{Pr} \approx 0{,}71.
  • Coeficiente volumétrico (para gás ideal): \beta \approx 1/T_f = 1/343{,}15\\ \mathrm{K^{-1}} = 0{,}0029149\\ \mathrm{K^{-1}}.
(Obs.: escolhi esses valores porque são os típicos em tabelas para ar a 70^\circ\mathrm{C}. Em prova, se houver tabela, use os valores da tabela.)

Passo 5

Cálculo do número de Grashof baseado no diâmetro como comprimento característico:
  • Fórmula do número de Grashof para o comprimento característico D:
\mathrm{Gr}_D = \dfrac{g\,\beta\,(T_w - T_\infty)\,D^3}{\nu^2},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Substituindo valores (faço a conta passo a passo):
\Delta T = T_w - T_\infty = 100\\ \mathrm{K}.
D^3 = (0{,}30)^3 = 0{,}027\\ \mathrm{m^3}.
\text{numerador} = 9{,}81\times 0{,}0029149 \times 100 \times 0{,}027 \approx 0{,}0773.
\nu^2 = (2{,}20\times 10^{-5})^2 = 4{,}84\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^4\,s^{-2}}.
\mathrm{Gr}_D \approx \dfrac{0{,}0773}{4{,}84\times 10^{-10}} \approx 1{,}60\times 10^8.

Passo 6

Cálculo do número de Rayleigh:
  • Definição: \mathrm{Ra}_D = \mathrm{Gr}_D\,\mathrm{Pr}.
\mathrm{Ra}_D \approx 1{,}60\times 10^8 \times 0{,}71 \approx 1{,}13\times 10^8.

Passo 7

Aplicação da correlação de Churchill–Chu para obter \mathrm{Nu}_D:
  • Recordando a fórmula:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}60 + \dfrac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_D^{1/6}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}.
  • Calculo de termos intermediários:
\mathrm{Ra}_D^{1/6} \approx (1{,}13\times 10^8)^{1/6} \approx 22{,}0.
\left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16} = \left(\dfrac{0{,}559}{0{,}71}\right)^{0{,}5625} \approx 0{,}8738.
1 + (\cdots) \approx 1{,}8738,\qquad \text{e elevando a }8/27\text{ dá } \approx 1{,}2049.á
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}60 + \dfrac{0{,}387\times 22{,}0}{1{,}2049} \approx 0{,}60 + \dfrac{8{,}514}{1{,}2049} \approx 7{,}67.

Passo 8

Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção h:
  • Relação entre \mathrm{Nu}_D e h:
h = \dfrac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}.
  • Substituindo:
h \approx \dfrac{7{,}67 \times 0{,}0307}{0{,}30} = 7{,}67 \times 0{,}10233 \approx 0{,}79\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
(Arredondei para duas casas significativas: h\approx 0{,}79\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.)

Passo 9

Cálculo da área superficial do cilindro (área lateral):
A = \pi D L = \pi \times 0{,}30\\ \mathrm{m} \times 100\\ \mathrm{m} = 94{,}2478\\ \mathrm{m^2}.

Passo 10

Cálculo do calor total perdido por convecção:
  • Fórmula da taxa de calor por convecção:
\dot{Q} = h\,A\,(T_w - T_\infty).
  • Substituindo:
\dot{Q} \approx 0{,}79\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\times 94{,}2478\\ \mathrm{m^2}\times 100\\ \mathrm{K}
\dot{Q} \approx 0{,}79 \times 9{,}424{,}78 \approx 7{,}40\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
  • Em unidades práticas:
\dot{Q} \approx 7{,}4\\ \mathrm{kW}.

Passo 11

Observações finais (úteis para a prova):
  • O resultado é uma estimativa baseada em correlações empíricas e em propriedades do ar avaliadas na temperatura de filme. Se você usar tabelas ligeiramente diferentes para k,\nu,\mathrm{Pr} obterá um valor próximo (ordem de 7\\ \mathrm{kW}).
  • Se houvesse fluxo forçado (ventilação), usaríamos correlações de convecção forçada e o valor de h provavelmente seria maior.
  • Não esqueça: sempre justificar a escolha da correlação (convecção natural vs. forçada) e usar temperatura de filme para propriedades.

Resposta

\dot{Q}\approx 7{,}4\\ \mathrm{kW}

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