(16^{\circ}) Calcule o raio crítico de isolamento para o amianto (í\mathrm{k}=0,17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) que reveste um tubo exposto ao ar\mathrm{T}{\mathrm{amb}}=20^{\circ} \mathrm{C} e\mathrm{h}=3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} . Calcule a perda de calor de um tubo de diâmetro deâ0,05 \mathrm{~m} cuja superfície encontra-se aí\mathrm{T}= 200^{\circ} \mathrm{C} . Calcule:r{cŕtíco}, q_{isolamento}, q_{sem isolamento}$.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: o raio crítico de isolamento, a perda de calor com isolamento e a perda de calor sem isolamento para um tubo. Dados fornecidos (vou listar tudo com clareza):
k = 0,17\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}
h = 3\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}
T_{\text{amb}} = 20^\circ\mathrm{C}
T_{\text{superfície do tubo}} = 200^\circ\mathrm{C}í
o diâmetro do tubo é \,0,05\\ \mathrm{m}\,, portanto o raio externo do tubo (raio sem isolamento) é
r_1 = \frac{0,05}{2} = 0,025\\ \mathrm{m}.
Observação importante: não foi dada uma espessura de isolamento específica, então vou calcular a perda de calor sem isolamento (caso sem revestimento) e a perda de calor quando a camada de isolamento tem raio externo igual ao raio crítico (ou seja, r_2 = r_{\text{crítico}}í). Como não foi dada comprimento do tubo, todos os fluxos de calor serão por unidade de comprimento (isto é, \mathrm{W/m}).

Passo 2

Fórmula do raio crítico (motivo e derivação curta, bem didática):
Para um tubo cilíndrico com isolamento até raio externo r_2, a resistência térmica por unidade de comprimento é a soma da resistência por condução no revestimento e da resistência por convecção no exterior:
R_{\text{total}}(r_2)=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}+\frac{1}{2\pi r_2 h}.
A potência por unidade de comprimento é
q'=\frac{T_s-T_{\text{amb}}}{R_{\text{total}}(r_2)}.
O raio crítico é o valor de r_2 que torna o calor perdido extremo quando se varia r_2. Encontramos isso fazendo \dfrac{dR_{\text{total}}}{dr_2}=0 (ou equivalentemente ao extremizar q'). Vamos derivar R_{\text{total}} em relação a r_2:
\frac{d}{dr_2}\left[\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}\right]=\frac{1}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r_2},
\frac{d}{dr_2}\left[\frac{1}{2\pi r_2 h}\right]=-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_2^{2}}.
Somando e anulando a derivada:
\frac{1}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r_2}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_2^{2}}=0.
Multiplicando por 2\pi r_2^{2}:
\frac{r_2}{k}-\frac{1}{h}=0 \quad\Rightarrow\quad r_2=\frac{k}{h}.
Portanto a fórmula simples e usada na prática para o raio crítico do isolante em torno de um cilindro é
\boxed{r_{\text{crítico}}=\frac{k}{h}}.í
Explicação física curta: se o raio do revestimento ficar menor que r_{\text{crítico}}í, a área exterior aumenta pouco e a resistência por convecção domina, logo adicionar isolamento pode aumentar a troca (piorar); se for maior que r_{\text{crítico}}í, a condução no isolante começa a dominar e o isolamento reduz o fluxo.

Passo 3

Calcular numericamente o raio crítico com os valores dados:
r_{\text{crítico}}=\frac{k}{h}=\frac{0,17}{3}=0,056666\ldots\\ \mathrm{m}.í
Arredondando de forma prática:
r_{\text{crítico}}\approx 0,0567\\ \mathrm{m}\quad(=56,7\\ \mathrm{mm}).í

Passo 4

Perda de calor sem isolamento (superfície diretamente em contato com o ar):
Neste caso a troca é puramente convectiva na superfície de raio r_1. A potência por unidade de comprimento é
q'_{\text{sem isolamento}} = h\cdot(2\pi r_1)\cdot (T_s-T_{\text{amb}}).
Primeiro a diferença de temperatura:
\Delta T = 200^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=180\\ \mathrm{K}.
Substituindo h=3, r_1=0,025 e \Delta T=180:
q'_{\text{sem isolamento}} = 3\cdot 2\pi\cdot 0,025\cdot 180.
Podemos simplificar: 2\cdot 0,025\cdot 180 = 9, então
q'_{\text{sem isolamento}} = 3\cdot 9\pi = 27\pi\\ \mathrm{W/m}.
Valor numérico:
q'_{\text{sem isolamento}}\approx 27\pi \approx 84,82\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Perda de calor com isolamento até o raio crítico (ou seja, tomar r_2=r_{\text{crítico}}í):
Usamos a fórmula geral
q'=\frac{T_s-T_{\text{amb}}}{\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}+\dfrac{1}{2\pi r_2 h}}.
Tomando r_2=r_{\text{crítico}}=0,056666\ldots\\ \mathrm{m}í e r_1=0,025\\ \mathrm{m}, primeiro calculemos razões e resistências:
\frac{r_2}{r_1}=\frac{0,056666\ldots}{0,025}=2,26666\ldots
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)\approx 0,81866.
Condutiva por unidade de comprimento:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}=\frac{0,81866}{2\pi\cdot 0,17}\approx 0,7663\\ \mathrm{K\,W^{-1}\,m}.
Convectiva na superfície externa:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_2 h}=\frac{1}{2\pi\cdot 0,056666\ldots \cdot 3}\approx 0,9365\\ \mathrm{K\,W^{-1}\,m}.
Somando:
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx 0,7663+0,9365=1,7028\\ \mathrm{K\,W^{-1}\,m}.
Então a potência por unidade de comprimento é
q'_{\text{com isolamento}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{180}{1,7028}\approx 105,8\\ \mathrm{W/m}.
Observação física: como r_1=0,025\\ \mathrm{m} é menor que r_{\text{crítico}}\approx0,0567\\ \mathrm{m}í, adicionar isolamento até o raio crítico aumentou a perda de calor (de \approx84,82\\ \mathrm{W/m} para \approx105,8\\ \mathrm{W/m}). Isso é o comportamento típico do raio crítico.

Resposta

r_{\text{crítico}}=0,0567\\ \mathrm{m}í
q'_{\text{com isolamento (até }r_{\text{crítico}}\text{)}}\approx 105,8\\ \mathrm{W/m}éí
q'_{\text{sem isolamento}}\approx 84,82\\ \mathrm{W/m}

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