(16^{\circ})Calcule o raio crítico de isolamento para o amianto (\mathrm{k}=0,17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}) que reveste um tubo exposto ao ar\mathrm{T}{\mathrm{amb}}=20^{\circ} \mathrm{C}e\mathrm{h}=3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Calcule a perda de calor de um tubo de diâmetro de0,05 \mathrm{~m}cuja superfície encontra-se a\mathrm{T}= 200^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:r{cŕtíco}, q_{isolamento}, q_{sem isolamento}$.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: o raio crítico de isolamento, a perda de calor com isolamento e a perda de calor sem isolamento para um tubo. Dados fornecidos (vou listar tudo com clareza):
k = 0,17\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}
h = 3\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}
T_{\text{amb}} = 20^\circ\mathrm{C}
T_{\text{superfície do tubo}} = 200^\circ\mathrm{C}
o diâmetro do tubo é \,0,05\\ \mathrm{m}\,, portanto o raio externo do tubo (raio sem isolamento) é
r_1 = \frac{0,05}{2} = 0,025\\ \mathrm{m}.
Observação importante: não foi dada uma espessura de isolamento específica, então vou calcular a perda de calor sem isolamento (caso sem revestimento) e a perda de calor quando a camada de isolamento tem raio externo igual ao raio crítico (ou seja, r_2 = r_{\text{crítico}}). Como não foi dada comprimento do tubo, todos os fluxos de calor serão por unidade de comprimento (isto é, \mathrm{W/m}).
Passo 2
Fórmula do raio crítico (motivo e derivação curta, bem didática):
Para um tubo cilíndrico com isolamento até raio externo r_2, a resistência térmica por unidade de comprimento é a soma da resistência por condução no revestimento e da resistência por convecção no exterior:
O raio crítico é o valor de r_2 que torna o calor perdido extremo quando se varia r_2. Encontramos isso fazendo \dfrac{dR_{\text{total}}}{dr_2}=0 (ou equivalentemente ao extremizar q'). Vamos derivar R_{\text{total}} em relação a r_2:
Portanto a fórmula simples e usada na prática para o raio crítico do isolante em torno de um cilindro é
\boxed{r_{\text{crítico}}=\frac{k}{h}}.í
Explicação física curta: se o raio do revestimento ficar menor que r_{\text{crítico}}í, a área exterior aumenta pouco e a resistência por convecção domina, logo adicionar isolamento pode aumentar a troca (piorar); se for maior que r_{\text{crítico}}í, a condução no isolante começa a dominar e o isolamento reduz o fluxo.
Passo 3
Calcular numericamente o raio crítico com os valores dados:
Observação física: como r_1=0,025\\ \mathrm{m} é menor que r_{\text{crítico}}\approx0,0567\\ \mathrm{m}í, adicionar isolamento até o raio crítico aumentou a perda de calor (de \approx84,82\\ \mathrm{W/m} para \approx105,8\\ \mathrm{W/m}). Isso é o comportamento típico do raio crítico.