10.1 No circuito RLC em série da Fig. 13 tem-se C=10 \mu C, L=1 m H, R=20 \Omega, f=1 \mathrm{kHz} e \mathcal{E}=10 \cos (2 \pi f t) Determine:
a) a impedância complexa;
b) a fase da corrente elétrica em relação à voltagem da fonte;
c) a amplituda da corrente elétrica;
d) a voltagem no capacitor como função do tempo;
e) a energia média armazenada no indutor;
f) a energia média armazenada no capacitor.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC alimentado por \mathcal{E}(t)=10\cos(2\pi f t) com f=1\,\text{kHz}.
Os componentes valem R=20\,\Omega, L=1\,\text{mH} e C=10\,\mu\text{F}.
O conteúdo é análise fasorial em regime permanente senoidal: vamos calcular a pulsação \omega, as reatâncias X_L e X_C, depois a impedância complexa Z, o ângulo de fase da corrente, a amplitude da corrente, a tensão no capacitor no domínio do tempo e, por fim, as energias médias armazenadas em L e em C.

Passo 2

Calcular \omega, X_L e X_C:
\omega = 2\pi f = 2\pi(10^3)=2000\pi\\ \text{rad/s}
X_L = \omega L = (2000\pi)(1\times10^{-3})=2\pi\approx6,28\\ \Omega
X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(2000\pi)(10\times10^{-6})} \approx15,92\\ \Omega

Passo 3

A impedância série é
Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr) = 20 + j\,(6,28 - 15,92) =20 - j\,9,65\\ \Omega.

Passo 4

O ângulo de fase \varphi da corrente em relação à tensão da fonte é
\varphi = \arg(Z) =\arctan\!\Bigl(\frac{-9,65}{20}\Bigr)\approx -25,8^\circ.

Passo 5

A amplitude da corrente é
I_0 = \frac{E_0}{|Z|} \quad\text{com}\quad |Z|=\sqrt{20^2 + (-9,65)^2}\approx22,09\\ \Omega,
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I_0 = \frac{10}{22,09}\approx0,453\\ \text{A}.

Passo 6

Para a tensão no capacitor usamos o fasor \underline{V}_C = \underline{I}\cdot(-jX_C).
A amplitude é
V_{C0} = I_0\,X_C =0,453\times15,92\approx7,21\\ \text{V}
e o deslocamento de fase é -90^\circ adicional, ou seja \varphi_C = \varphi - 90^\circ \approx -115,8^\circ.
No domínio do tempo:
v_C(t) = 7,21\cos\bigl(2\pi\cdot10^3\,t - 115,8^\circ\bigr)\\ \text{V}.

Passo 7

A energia média armazenada no indutor é
\overline{W_L} =\frac{1}{T}\int_0^T\frac12 L\,i^2(t)\,dt =\frac{L\,I_0^2}{4} =\frac{1\times10^{-3}\,(0,453)^2}{4} \approx5,12\times10^{-5}\\ \text{J}.

Passo 8

A energia média armazenada no capacitor é
\overline{W_C} =\frac{C\,V_{C0}^2}{4} =\frac{10\times10^{-6}\,(7,21)^2}{4} \approx1,30\times10^{-4}\\ \text{J}.

Resposta

(a) Z = 20 - j\,9,65\\ \Omega
(b) \varphi\approx -25,8^\circ
(c) I_0\approx0,453\\ \text{A}
(d) v_C(t)=7,21\cos\bigl(2\pi\cdot10^3\,t - 115,8^\circ\bigr)\\ \text{V}
(e) \overline{W_L}\approx5,12\times10^{-5}\\ \text{J}
(f) \overline{W_C}\approx1,30\times10^{-4}\\ \text{J}

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