4.4 Qual a variação de potencial elétrico quando a partir de um ponto A damos um passo infinitesimal d \vec{r} ? É possível escolher uma direção para o deslocamento infinitesimal de modo que o potencial elétrico não sofra variação? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação infinitesimal do potencial elétrico V quando partimos de um ponto A e damos um deslocamento \mathrm{d}\vec{r}. O conteúdo envolvido é a relação entre campo elétrico \vec{E} e potencial elétrico V, que vem da definição
\vec{E} = -\nabla V.

Passo 2

Sabemos que a diferença de potencial entre dois pontos A e B é
V(B) - V(A) = -\int_{A}^{B} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.
Para um deslocamento infinitesimal a partir de A, basta fazer esse integral sobre um trecho infinitesimal.

Passo 3

Tomando o passo infinitesimal \mathrm{d}\vec{r}, a variação correspondente de V é
\mathrm{d}V = -\,\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.
Essa fórmula vem de escrever \mathrm{d}V = \nabla V\cdot\mathrm{d}\vec{r} e usar \nabla V = -\vec{E}.

Passo 4

Para que não haja variação de potencial, precisamos de
\mathrm{d}V=0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=0.
Isto significa escolher \mathrm{d}\vec{r} perpendicular a \vec{E}. Em outras palavras, mover-se ao longo de uma superfície equipotencial garante que o potencial não mude.

Resposta

\displaystyle \mathrm{d}V=-\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.
Sim, basta escolher \mathrm{d}\vec{r} ortogonal a \vec{E}, ou seja, mover-se sobre uma superfície equipotencial, para que \mathrm{d}V=0.

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