10.1 No circuito RLC em série da Fig. 13 tem-se C=10 \mu C, L=1 m H, R=20 \Omega, f=1 \mathrm{kHz} e \mathcal{E}=10 \cos (2 \pi f t) Determine:
a) a impedância complexa;
b) a fase da corrente elétrica em relação à voltagem da fonte;
c) a amplituda da corrente elétrica;
d) a voltagem no capacitor como função do tempo;
e) a energia média armazenada no indutor;
f) a energia média armazenada no capacitor.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC com
R =20\Omega, L =1 mH, C =10\muF, frequência f =1 kHz e tensão da fonte \mathcal{E}(t)=10\cos(2\pi f t).
Pede-se: a) impedância complexa Z; b) fase da corrente; c) amplitude da corrente; d) tensão no capacitor v_C(t); e) energia média no indutor; f) energia média no capacitor.

Passo 2

Calculemos a pulsação e as reatâncias: \omega=2\pi f=2\pi\cdot1000\approx6283{,}19\\ \mathrm{rad/s}. \displaystyle X_L=\omega L=6283{,}19\cdot1\times10^{-3}\approx6{,}283\\ \Omega. \displaystyle X_C=\frac1{\omega C}=\frac1{6283{,}19\cdot10\times10^{-6}}\approx15{,}915\\ \Omega.
Logo a impedância complexa é
Z=R+j\bigl(X_L - X_C\bigr) =20 + j\,(6{,}283-15{,}915) =20 - j\,9{,}632\\ \Omega.

Passo 3

A fase da corrente em relação à tensão é o argumento de Z:
\varphi = \arg(Z) =\arctan\frac{X_L - X_C}{R} =\arctan\frac{-9{,}632}{20} \approx -0{,}450\\ \mathrm{rad} \;\bigl(\approx -25{,}8^\circ\bigr).

Passo 4

A amplitude da corrente é
I_0=\frac{E_0}{\lvert Z\rvert} =\frac{10}{\sqrt{20^2 + (-9{,}632)^2}} \approx\frac{10}{22{,}20} \approx0{,}450\\ \mathrm{A}.

Passo 5

A tensão no capacitor tem amplitude V_{C0}=I_0\,X_C e defasagem \phi_C=\varphi - \tfrac{\pi}{2}.
V_{C0}=0{,}450\cdot15{,}915\approx7{,}16\\ \mathrm{V}, \qquad \phi_C=-0{,}450 - 1{,}571\approx -2{,}021\\ \mathrm{rad}\\ (\approx -115{,}8^\circ).
Portanto
v_C(t)=7{,}16\cos\bigl(\omega t -2{,}021\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Energia média armazenada no indutor usando I_{\rm rms}=I_0/\sqrt2:
W_L=\tfrac12 L\,I_{\rm rms}^2 =\tfrac12 \,L\Bigl(\frac{I_0}{\sqrt2}\Bigr)^2 =\frac{L\,I_0^2}{4} =\frac{1\times10^{-3}\cdot(0{,}450)^2}{4} \approx5{,}06\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Energia média armazenada no capacitor usando V_{C,\rm rms}=V_{C0}/\sqrt2:
W_C=\tfrac12 C\,V_{C,\rm rms}^2 =\frac{C\,V_{C0}^2}{4} =\frac{10\times10^{-6}\cdot(7{,}16)^2}{4} \approx1{,}28\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) Z=20 - j\,9{,}632\\ \Omega
b) \varphi\approx -0{,}450\\ \mathrm{rad} (corrente atrasa)
c) I_0\approx0{,}450\\ \mathrm{A}
d) v_C(t)=7{,}16\cos\bigl(6283{,}19\,t -2{,}021\bigr)\\ \mathrm{V}
e) W_L\approx5{,}06\times10^{-5}\\ \mathrm{J}
f) W_C\approx1{,}28\times10^{-4}\\ \mathrm{J}

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