7- Um engenheiro está projetando um sistema de ventilação industrial e precisa definir os componentes a serem utilizados. No catálogo disponível existem 2 tipos de sensores de temperatura, 4 modelos de ventiladores industriais, 5 tipos de controladores eletrônicos e 3 opções de filtros de ar. Considerando que o sistema deve ser montado com um item de cada categoria, de quantas maneiras diferentes o engenheiro poderá compor o sistema?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: existem
tipos de sensores de temperatura,
modelos de ventiladores industriais,
tipos de controladores eletrônicos e
opções de filtros de ar. A montagem do sistema deve usar exatamente um item de cada categoria. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes o engenheiro pode compor o sistema escolhendo um item de cada categoria?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática e prática): o Princípio da Multiplicação (ou Regra do Produto) diz que se um processo é composto de etapas sucessivas independentes, e a etapa
pode ser feita de
maneiras, a etapa
de
maneiras, a etapa
de
maneiras, e assim por diante, então o número total de maneiras de executar todas as etapas é o produto dessas quantidades. Em símbolos: se temos escolhas com números
,
,
, … então o total é
Aqui cada “etapa” é a escolha de um componente (sensor, ventilador, controlador, filtro). Vou explicar o que cada variável representa:
é o número de opções da primeira categoria (sensores),
é o número de opções da segunda (ventiladores),
é do controlador e
é do filtro. O princípio funciona porque para cada escolha da etapa anterior temos todas as escolhas possíveis nas etapas seguintes — multiplicamos possibilidades.
Passo 3
Aplicando o princípio aos números do enunciado: seja
,
,
e
. Então o número total de composições possíveis é
Passo 4
Vamos calcular passo a passo (para você conseguir fazer rápido numa prova sem calculadora):
Portanto o produto
iguala
.
Passo 5
Um exemplo pequeno para fixar: se houvesse só
sensores e
ventiladores, pelo mesmo raciocínio haveria
sistemas possíveis — você pode listar todas as combinações (S1V1, S1V2, S1V3, S2V1, S2V2, S2V3) e ver que são
. Isso mostra por que multiplicamos.