7- Um engenheiro está projetando um sistema de ventilação industrial e precisa definir os componentes a serem utilizados. No catálogo disponível existem 2 tipos de sensores de temperatura, 4 modelos de ventiladores industriais, 5 tipos de controladores eletrônicos e 3 opções de filtros de ar. Considerando que o sistema deve ser montado com um item de cada categoria, de quantas maneiras diferentes o engenheiro poderá compor o sistema?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: existem 2 tipos de sensores de temperatura, 4 modelos de ventiladores industriais, 5 tipos de controladores eletrônicos e 3 opções de filtros de ar. A montagem do sistema deve usar exatamente um item de cada categoria. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes o engenheiro pode compor o sistema escolhendo um item de cada categoria?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e prática): o Princípio da Multiplicação (ou Regra do Produto) diz que se um processo é composto de etapas sucessivas independentes, e a etapa 1 pode ser feita de a maneiras, a etapa 2 de b maneiras, a etapa 3 de c maneiras, e assim por diante, então o número total de maneiras de executar todas as etapas é o produto dessas quantidades. Em símbolos: se temos escolhas com números a, b, c, … então o total é
\text{total} = a \cdot b \cdot c \cdots
Aqui cada “etapa” é a escolha de um componente (sensor, ventilador, controlador, filtro). Vou explicar o que cada variável representa: a é o número de opções da primeira categoria (sensores), b é o número de opções da segunda (ventiladores), c é do controlador e d é do filtro. O princípio funciona porque para cada escolha da etapa anterior temos todas as escolhas possíveis nas etapas seguintes — multiplicamos possibilidades.

Passo 3

Aplicando o princípio aos números do enunciado: seja a=2, b=4, c=5 e d=3. Então o número total de composições possíveis é
\text{total} = a\cdot b\cdot c\cdot d = 2\cdot 4\cdot 5\cdot 3.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo (para você conseguir fazer rápido numa prova sem calculadora):
2\cdot 4 = 8.
8\cdot 5 = 40.
40\cdot 3 = 120.
Portanto o produto 2\cdot 4\cdot 5\cdot 3 iguala 120.

Passo 5

Um exemplo pequeno para fixar: se houvesse só 2 sensores e 3 ventiladores, pelo mesmo raciocínio haveria 2\cdot 3 = 6 sistemas possíveis — você pode listar todas as combinações (S1V1, S1V2, S1V3, S2V1, S2V2, S2V3) e ver que são 6. Isso mostra por que multiplicamos.

Resposta

120

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