-10. Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & \underline{0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & \underline{0} \\\\ 3 & 2\end{array}\right]\right\} em \mathbf{M}(2,2).

Passo 1

Temos o conjunto
\{A_1,A_2,A_3\}\subset \mathbf{M}(2,2)
com
A_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&2\end{pmatrix}.
Queremos saber se esses três vetores (matrizes) são linearmente independentes, ou seja, se a única combinação linear que dá a matriz zero é a trivial.

Passo 2

Considere
c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 = 0.
Isso gera um sistema de equações ao igualar cada entrada a zero:
\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 0,\\\ c_1 - c_2 + 0\cdot c_3 = 0,\\\\ 0\cdot c_1 + c_2 + 3c_3 = 0,\\\\ -\,c_1 + 0\cdot c_2 + 2c_3 = 0. \end{cases}

Passo 3

Das equações:
c_1 - c_2 = 0\implies c_1=c_2,
c_2 +3c_3=0\implies c_2=-3c_3,
-\,c_1 +2c_3=0\implies c_1=2c_3.
Como c_1=c_2, temos -3c_3=2c_3, isto é 5c_3=0\implies c_3=0. Então c_2=0 e c_1=0. Logo só a solução trivial existe.

Resposta

O conjunto dado é linearmente independente.

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