*8. Seja S o subespaço vetorial de \overparen{\mathcal{P}_{2}} gerado pelos vetores \underline{t, 1-t \text { e } 4+t^{2}}. O vetor \underline{p(t)}= 3+4 t+10 t^{2} pertence a \Omega ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o subespaço vetorial S de \mathcal P_2 gerado pelos vetores t, 1-t e 4+t^2 e pede para verificar se
p(t)=3+4t+10t^2
pertence a S. Vamos testar se existe uma combinação linear
a\,t \;+\; b\,(1 - t)\;+\; c\,(4 + t^2)\;=\;p(t).

Passo 2

Expandimos a combinação linear no polinômio padrão em \{1,t,t^2\}:
a\,t + b\,(1 - t) + c\,(4 + t^2) = b + 4c \;+\;(a - b)\,t \;+\;c\,t^2.

Passo 3

Comparamos esse polinômio com p(t)=3+4t+10t^2\) igualando coeficientes em \(1\), \(t\) e \(t^2\): \[\begin{cases} b + 4c = 3,\\\ a - b = 4,\\\ c = 10. \end{cases}
Da última equação vem c=10\]. Substituindo em \(b + 4c = 3 obtém-se b+40=3, logo b=-37. Finalmente, de a - b=4 segue a=4+b=4-37=-33.

Passo 4

Achamos a=-33, b=-37, c=10, de modo que
-33\,t \;+\;(-37)\,(1 - t)\;+\;10\,(4 + t^2) =3 + 4t + 10t^2.
Como existe essa combinação linear, concluímos que p(t)\in S.

Resposta

Sim. p(t) pertence a S pois
-33\,t + (-37)\,(1 - t) + 10\,(4 + t^2) =3+4t+10t^2.

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