\downarrow \nleftarrow 11. Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\} em \mathbf{M}(2,2).

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em \mathbf{M}(2,2):
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Como \mathbf{M}(2,2) é um espaço vetorial de dimensão 4, um conjunto de quatro vetores (matrizes) é base se, e somente se, for linearmente independente. Vamos verificar isso.

Passo 2

Formulamos a relação de dependência linear genérica
\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+\lambda_3A_3+\lambda_4A_4=0
e escrevemos para cada entrada da matriz o sistema em \lambda_i. Mas antes notamos algo mais simples: se conseguirmos escrever uma das matrizes como combinação das outras, já detectamos dependência.

Passo 3

Observe que
A_1 + A_3 =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =A_4.
Logo temos a relação não trivial
A_4 - A_1 - A_3 = 0,
o que mostra que \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é linearmente dependente.

Passo 4

Como há dependência linear, o conjunto não é base de \mathbf{M}(2,2).

Resposta

O conjunto dado não é uma base de \mathbf{M}(2,2) porque A_4 = A_1 + A_3, ou seja, as matrizes são linearmente dependentes.

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