Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a)
e
com
é um subespaço vetorial do espaço
das matrizes reais dois por dois.
(b)
mesmo tendo 3 termos
(a) e
(b)
Passo 1
Estamos em dois tópicos de álgebra linear: (a) teste para subespaço vetorial de
e (b) teste de geração (span) em
. Vamos verificar em (a) se o conjunto
satisfaz os axiomas de subespaço (em particular, se contém a matriz zero) e em (b) se o conjunto de três vetores realmente gera todo
.
Passo 2
Analisando (a):
O conjunto é
O conjunto é
isto é, todas as matrizes cujo elemento
satisfaz
. Para ser subespaço vetorial,
precisa, entre outras coisas, conter a matriz zero
Mas em
temos
, então
. Logo
. Como não contém o zero,
não é subespaço.
Passo 3
Analisando (b):
Temos o conjunto
Temos o conjunto
Para mostrar que
o que dá o sistema
cuja solução é
Assim
e
. O vetor
é redundante, pois
mas não prejudica o fato de o span dos três ser todo
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) V
(b) V