8.10 Considere uma corrente filamentar de 5 mA direcionada do infinito para a origem no semi-eixo z positivo e depois de volta para o infinito no semi-cixo x positivo. Determine \mathbf{H} em P(0,1,0).
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o campo magnético \mathbf{H} no ponto P(0,1,0) produzido por uma corrente filamentar de intensidade 5\\ \mathrm{mA} que vem do infinito ao longo do semi-eixo z positivo até a origem e, a partir da origem, vai para o infinito ao longo do semi-eixo x positivo. Informações relevantes fornecidas:
Intensidade da corrente: I=5\\ \mathrm{mA}=5\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}.
Geometria da corrente: dois trechos rectilíneos e semi-infinitos que se encontram na origem:
Trecho 1: semi-eixo z>0, corrente direcionada de z=+\infty para z=0 (isto é, sentido -\hat{\mathbf{z}}).
Trecho 2: semi-eixo x>0, corrente direcionada de x=0 para x=+\infty (isto é, sentido +\hat{\mathbf{x}}).
Ponto onde quero \mathbf{H}: P(0,1,0) (distância perpendicular até cada eixo = 1).
Pergunta a responder: calcular \mathbf{H} em P(0,1,0).
Passo 2
Fórmula que vou usar (Lei de Biot–Savart para \mathbf{H}; é a forma conveniente sem \mu_0):
\mathbf{r} é o ponto onde eu quero o campo (aqui \mathbf{r}=(0,1,0)).
\mathbf{r}' é a posição de um elemento de corrente d\mathbf{l}' sobre o fio.
d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}') dá a direção (e sinal) da contribuição do elemento de corrente; o denominador |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3} faz a dependência com a distância.
A integração é feita sobre todo o fio. Como o fio tem duas partes, vou somar as contribuições (princípio da superposição).
Passo 3
Estratégia:
Calcular \mathbf{H} como soma das contribuições dos dois trechos: \mathbf{H}=\mathbf{H}_{z}+\mathbf{H}_{x}.
Para cada trecho, parameterizo a posição \mathbf{r}', escrevo d\mathbf{l}', calculo d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), monto a integral escalar (a direção normalmente sai constante aqui) e resolvo a integral.
Vou tratar primeiro o trecho no eixo z e depois o trecho no eixo x.
Passo 4
Contribuição do trecho no eixo z (semi-infinito de z=+\infty até z=0, corrente no sentido -\hat{\mathbf{z}}).
Parametrização: tome z' variando de 0 até +\infty. A posição do elemento de corrente é \mathbf{r}'=(0,0,z').
Como a corrente vai de +\infty para 0, o elemento de corrente apontando no sentido do fluxo é d\mathbf{l}'=-dz'\,\hat{\mathbf{z}} (note o sinal negativo).
Vetor do elemento até o ponto P:\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(0,1,0)-(0,0,z')=(0,1,-z').
Calculo do produto vetorial (mostro como fazer usando fórmula de componentes). Para d\mathbf{l}'=-dz'\,\hat{\mathbf{z}}=(0,0,-dz') e \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(0,1,-z'):d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\[2pt] 0 & 0 & -dz'\\[2pt] 0 & 1 & -z' \end{vmatrix} =dz'\,\hat{\mathbf{x}}.(Portanto a contribuição de cada elemento aponta na direção +\hat{\mathbf{x}}.)
Módulo do vetor \mathbf{R}: |\mathbf{R}|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+z'^{2}}=\sqrt{1+z'^{2}}.
Substituindo na Biot–Savart:\mathbf{H}_{z}=\frac{I}{4\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{dz'\,\hat{\mathbf{x}}}{(1+z'^{2})^{3/2}}.
A integral escalar que aparece é\int_{0}^{\infty}\frac{dz'}{(1+z'^{2})^{3/2}}.Faço a substituição trigonométrica z'=\tan\theta, com dz'=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e 1+z'^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta. Quando z'=0\Rightarrow \theta=0 e quando z'\to\infty\Rightarrow \theta\to \tfrac{\pi}{2}. Então a integral vira\int_{0}^{\pi/2}\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}}=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta]_{0}^{\pi/2}=1.
As direções +\hat{\mathbf{x}} e +\hat{\mathbf{z}} fazem sentido pelo regra da mão direita para cada trecho (verificada pelo cálculo explícito do produto vetorial).
Você chegou até aqui num problema com integrais e produtos vetoriais — isso é ótimo. Repete esse procedimento em outros problemas: parametrizar, calcular d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}, montar integral e usar substituições trigonométricas para integrais que surgem.