8.10 Considere uma corrente filamentar de 5 mA direcionada do infinito para a origem no semi-eixo z positivo e depois de volta para o infinito no semi-cixo x positivo. Determine \mathbf{H} em P(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o campo magnético \mathbf{H} no ponto P(0,1,0) produzido por uma corrente filamentar de intensidade 5\\ \mathrm{mA} que vem do infinito ao longo do semi-eixo z positivo até a origem e, a partir da origem, vai para o infinito ao longo do semi-eixo x positivo. Informações relevantes fornecidas:
  • Intensidade da corrente: I=5\\ \mathrm{mA}=5\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}.
  • Geometria da corrente: dois trechos rectilíneos e semi-infinitos que se encontram na origem:
    • Trecho 1: semi-eixo z>0, corrente direcionada de z=+\infty para z=0 (isto é, sentido -\hat{\mathbf{z}}).
    • Trecho 2: semi-eixo x>0, corrente direcionada de x=0 para x=+\infty (isto é, sentido +\hat{\mathbf{x}}).
  • Ponto onde quero \mathbf{H}: P(0,1,0) (distância perpendicular até cada eixo = 1).
    Pergunta a responder: calcular \mathbf{H} em P(0,1,0).

Passo 2

Fórmula que vou usar (Lei de Biot–Savart para \mathbf{H}; é a forma conveniente sem \mu_0):
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{I}{4\pi}\int \frac{d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}.
Explicando a fórmula, passo a passo:
  • \mathbf{r} é o ponto onde eu quero o campo (aqui \mathbf{r}=(0,1,0)).
  • \mathbf{r}' é a posição de um elemento de corrente d\mathbf{l}' sobre o fio.
  • d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}') dá a direção (e sinal) da contribuição do elemento de corrente; o denominador |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3} faz a dependência com a distância.
  • A integração é feita sobre todo o fio. Como o fio tem duas partes, vou somar as contribuições (princípio da superposição).

Passo 3

Estratégia:
  • Calcular \mathbf{H} como soma das contribuições dos dois trechos: \mathbf{H}=\mathbf{H}_{z}+\mathbf{H}_{x}.
  • Para cada trecho, parameterizo a posição \mathbf{r}', escrevo d\mathbf{l}', calculo d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), monto a integral escalar (a direção normalmente sai constante aqui) e resolvo a integral.
    Vou tratar primeiro o trecho no eixo z e depois o trecho no eixo x.

Passo 4

Contribuição do trecho no eixo z (semi-infinito de z=+\infty até z=0, corrente no sentido -\hat{\mathbf{z}}).
  • Parametrização: tome z' variando de 0 até +\infty. A posição do elemento de corrente é \mathbf{r}'=(0,0,z').
  • Como a corrente vai de +\infty para 0, o elemento de corrente apontando no sentido do fluxo é d\mathbf{l}'=-dz'\,\hat{\mathbf{z}} (note o sinal negativo).
  • Vetor do elemento até o ponto P: \mathbf{r}-\mathbf{r}'=(0,1,0)-(0,0,z')=(0,1,-z').
  • Calculo do produto vetorial (mostro como fazer usando fórmula de componentes). Para d\mathbf{l}'=-dz'\,\hat{\mathbf{z}}=(0,0,-dz') e \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(0,1,-z'): d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\[2pt] 0 & 0 & -dz'\\[2pt] 0 & 1 & -z' \end{vmatrix} =dz'\,\hat{\mathbf{x}}.(Portanto a contribuição de cada elemento aponta na direção +\hat{\mathbf{x}}.)
  • Módulo do vetor \mathbf{R}: |\mathbf{R}|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+z'^{2}}=\sqrt{1+z'^{2}}.
  • Substituindo na Biot–Savart: \mathbf{H}_{z}=\frac{I}{4\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{dz'\,\hat{\mathbf{x}}}{(1+z'^{2})^{3/2}}.
  • A integral escalar que aparece é \int_{0}^{\infty}\frac{dz'}{(1+z'^{2})^{3/2}}.Faço a substituição trigonométrica z'=\tan\theta, com dz'=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e 1+z'^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta. Quando z'=0\Rightarrow \theta=0 e quando z'\to\infty\Rightarrow \theta\to \tfrac{\pi}{2}. Então a integral vira \int_{0}^{\pi/2}\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}}=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta]_{0}^{\pi/2}=1.
  • Logo \mathbf{H}_{z}=\frac{I}{4\pi}\,\hat{\mathbf{x}}.]

Passo 5

Contribuição do trecho no eixo x (semi-infinito de x=0 até x=+\infty, corrente no sentido +\hat{\mathbf{x}}).
  • Parametrização: tome x' variando de 0 até +\infty. A posição do elemento é \mathbf{r}'=(x',0,0).
  • Elemento de corrente: d\mathbf{l}'=dx'\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Vetor do elemento até o ponto P: \mathbf{r}-\mathbf{r}'=(0,1,0)-(x',0,0)=(-x',1,0).
  • Produto vetorial: para d\mathbf{l}'=dx'\,\hat{\mathbf{x}} e \mathbf{R}=(-x',1,0), d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\[2pt] dx' & 0 & 0\\[2pt] -x' & 1 & 0 \end{vmatrix} =dx'\,\hat{\mathbf{z}}.(Portanto a contribuição de cada elemento aponta na direção +\hat{\mathbf{z}}.)
  • Módulo de \mathbf{R}: |\mathbf{R}|=\sqrt{(-x')^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+x'^{2}}.
  • Substituindo na Biot–Savart: \mathbf{H}_{x}=\frac{I}{4\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{dx'\,\hat{\mathbf{z}}}{(1+x'^{2})^{3/2}}.
  • A integral é idêntica à do trecho anterior e vale 1. Logo \mathbf{H}_{x}=\frac{I}{4\pi}\,\hat{\mathbf{z}}.]

Passo 6

Somando as contribuições (superposição):
\mathbf{H}(0,1,0)=\mathbf{H}_{z}+\mathbf{H}_{x}=\frac{I}{4\pi}\,\hat{\mathbf{x}}+\frac{I}{4\pi}\,\hat{\mathbf{z}}=\frac{I}{4\pi}\big(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}\big).
Agora substituo I=5\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}:
\mathbf{H}(0,1,0)=\frac{5\times 10^{-3}}{4\pi}\big(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}\big)\\ \mathrm{A/m}.
Cálculo numérico aproximado:
\frac{5\times 10^{-3}}{4\pi}\approx 3{,}98\times 10^{-4}.
Portanto
\mathbf{H}(0,1,0)\approx 3{,}98\times 10^{-4}\big(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}\big)\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Pequena checagem física e incentivo:
  • As direções +\hat{\mathbf{x}} e +\hat{\mathbf{z}} fazem sentido pelo regra da mão direita para cada trecho (verificada pelo cálculo explícito do produto vetorial).
  • Você chegou até aqui num problema com integrais e produtos vetoriais — isso é ótimo. Repete esse procedimento em outros problemas: parametrizar, calcular d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}, montar integral e usar substituições trigonométricas para integrais que surgem.

Resposta

\mathbf{H}(0,1,0)=\frac{I}{4\pi}\big(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}\big)
\mathbf{H}(0,1,0)=\frac{5\times 10^{-3}}{4\pi}\big(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}\big)\\ \mathrm{A/m}\approx 3{,}98\times 10^{-4}\big(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}\big)\\ \mathrm{A/m}

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