no caso de valores da energia total E<V_{0}.
a) Escreva as autofunções que são as soluçōes gerais nas diferentes regiōes do potencial, com constantes arbitrárias A, B, C, \cdots, e verifique que, de fato, são soluçōes da equação de Schroedinger independente do tempo; - (2,0 pts.)
b) Considere que as partículas do feixe incidente estão se movendo da esquerda para a direita, e encontre quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias. - (1,0 pt.)
c) Use essas relações para calcular o coeficiente de transmissāo T. - (1,0 pt.)
Passo 1
O enunciado pede três coisas com a partícula cuja energia é menor que a altura da barreira [V_0):
(a) Escrever as autofunções (soluções gerais) nas três regiões do potencial, com constantes arbitrárias A,B,C,\dots, e verificar que são soluções da equação de Schrödinger independente do tempo.
(b) Assumindo feixe incidente da esquerda (movendo-se esquerda→direita), encontrar quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias.
(c) A partir dessas relações, calcular o coeficiente de transmissão T.
\psi_{II}(a)=\psi_{III}(a)\quad\Rightarrow\quad C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=F e^{ika}.
Continuidade de \psi':
\psi_{II}'(a)=\psi_{III}'(a)\quad\Rightarrow\quad \kappa\big(C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}\big)=ik F e^{ika}.
Estas quatro equações relacionam as cinco constantes A,B,C,D,F. A quinta constante (escolha de fase/normalização) fica livre; normalmente toma-se A dado (onda incidente) e expressam-se as demais constantes em função de A.
Assim, a parte (b) foi atendida: as quatro relações são
\begin{cases} A+B=C+D,\\[4pt] ik(A-B)=\kappa(C-D),\\[4pt] C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=F e^{ika},\\[4pt] \kappa\big(C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}\big)=ik F e^{ika}. \end{cases}]
Passo 5
Resolver para o coeficiente de transmissão T (estratégia e definição).
Definição física do coeficiente de transmissão: razão entre fluxo de probabilidade (ou corrente) transmitido e o fluxo incidente. Para ondas planas com os mesmos vetores de grupo nas regiões I e III (ambas têm V=0), isto reduz-se a
T=\frac{|F|^{2}}{|A|^{2}}.
Portanto basta encontrar a razão complexa t\equiv F/A e depois T=|t|^{2}.
Estratégia prática: usar as duas equações em x=0 para expressar C e D em função de A e B; inserir essas expressões nas equações em x=a; eliminar B para obter F em função de A. Para facilitar a álgebra, vamos definir
Dividindo a segunda por \kappa e lembrando que i\alpha=\tfrac{ik}{\kappa}, a segunda eq. é
(A+B)\operatorname{sinh}(\kappa a)+i\alpha(A-B)\operatorname{cosh}(\kappa a)=i\alpha F e^{ika}.
Agora temos um sistema linear em (A+B) e (A-B) com RHS proporcional a F e^{ika}. Eliminando (A+B) e (A-B) (álgebra direta: combinar as duas equações de modo a isolar F/A) chega-se à expressão para a razão de amplitudes (transmissão complexa):
Observação sobre a derivação: a expressão acima surge ao resolver o sistema linear descrito; o denominador combina \operatorname{cosh}(\kappa a) e \operatorname{sinh}(\kappa a) com o coeficiente \dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}. Para não alongar inutilmente com manipulações algébricas longas, esse é o resultado direto da eliminação (passos algébricos são aplicar combinações lineares e usar \operatorname{cosh}^{2}-\operatorname{sinh}^{2}=1).
Passo 8
Calculando T=|t|^{2} e simplificando em termos de E e V_{0}.
Esta é a expressão final para o coeficiente de transmissão quando E<V_{0}, com \kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar.
Resposta
(a) \psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}, \psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}, \psi_{III}(x)=F\,e^{ikx}, com k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}} e \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
(b) As quatro relações (continuidade em x=0 e x=a) são
\begin{cases} A+B=C+D,\\[4pt] ik(A-B)=\kappa(C-D),\\[4pt] C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=F e^{ika},\\[4pt] \kappa\big(C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}\big)=ik F e^{ika}. \end{cases}