Barreira de Potencial - (4,0 pts.)
Considere uma partícula penetrando em uma barreira de potencial retangular
V(x)=\begin{array}{cc} V_{0} & 0<x<a \\\\ 0 & x<0 \text { ou } x>a \end{array}
no caso de valores da energia total E<V_{0}.
a) Escreva as autofunções que são as soluçōes gerais nas diferentes regiōes do potencial, com constantes arbitrárias A, B, C, \cdots, e verifique que, de fato, são soluçōes da equação de Schroedinger independente do tempo; - (2,0 pts.)
b) Considere que as partículas do feixe incidente estão se movendo da esquerda para a direita, e encontre quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias. - (1,0 pt.)
c) Use essas relações para calcular o coeficiente de transmissāo T. - (1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado pede três coisas com a partícula cuja energia é menor que a altura da barreira [V_0):
  • (a) Escrever as autofunções (soluções gerais) nas três regiões do potencial, com constantes arbitrárias A,B,C,\dots, e verificar que são soluções da equação de Schrödinger independente do tempo.
  • (b) Assumindo feixe incidente da esquerda (movendo-se esquerda→direita), encontrar quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias.
  • (c) A partir dessas relações, calcular o coeficiente de transmissão T.
Informações dadas (resumidas):
  • Potencial retangular
V(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \text{ ou } x>a,\\[4pt] V_{0}, & 0<x<a, \end{cases}
  • Energia da partícula E\] tal que \(E<V_{0}.
  • Partícula incidente pela esquerda (não há onda incidente da direita).]

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger estacionária e definindo os parâmetros.
A equação de Schrödinger independente do tempo (1D) é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi=E\psi.
Rearranjando para obter a equação para \psi:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\frac{2m}{\hbar^{2}}[V(x)-E]\,\psi.
Definimos dois números positivos (já que E<V_0):
k\equiv\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}\quad\text{e}\quad \kappa\equiv\sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
  • \,k é o número de onda nas regiões onde V=0.
  • \,\kappa é o decaimento (real e positivo) dentro da barreira.

Passo 3

Escrevendo as soluções gerais (autofunções) em cada região e verificando que satisfazem a equação.
Região I ( x<0, V=0). A equação fica \psi''+k^{2}\psi=0, cuja solução geral é combinação linear de exponenciais complexos:
\psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},
onde A representa a amplitude da onda incidente (para x\to -\infty a onda e^{ikx} viaja para a direita) e B a onda refletida que vai para a esquerda.
Verificação rápida: derivando duas vezes,
\psi_{I}''(x)=-k^{2}\big(Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\big)=-k^{2}\psi_{I},
logo satisfaz \psi''+k^{2}\psi=0, que é equivalente à Schrödinger em V=0.
Região II ( 0<x<a, V=V_{0}). A equação é \psi''-\kappa^{2}\psi=0 (porque V_0-E>0), solução geral:
\psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}.
Essas são ondas evanescentes (crescimento e decaimento exponencial) dentro da barreira. Verificação:
\psi_{II}''(x)=\kappa^{2}\big(Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}\big)=\kappa^{2}\psi_{II},
então \psi''-\kappa^{2}\psi=0 como desejado.
Região III ( x>a, V=0). Novamente \psi''+k^{2}\psi=0, solução geral:
\psi_{III}(x)=F\,e^{ikx}+G\,e^{-ikx}.
Mas, pelo enunciado (feixe incidente da esquerda, nada vindo da direita), não existe onda viajando para a esquerda em x>a. Logo devemos pôr G=0. Assim
\psi_{III}(x)=F\,e^{ikx},
que é a onda transmitida para a direita. Verificação igual à da região I: \psi_{III}''=-k^{2}\psi_{III}.
Já verificamos que as funções escritas satisfazem a equação de Schrödinger em cada região (substituição direta e cálculo das derivadas).

Passo 4

Impondo condições de contorno e escrevendo as quatro equações solicitadas (parte b).
As condições físicas necessárias são:
  • Continuidade de \psi(x) em x=0 e x=a.
  • Continuidade de \psi'(x) em x=0 e x=a.
    (Estas decorrem da forma da equação de 2ª ordem e do potencial finito.)
No ponto x=0:
  • Continuidade de \psi:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0)\quad\Rightarrow\quad A+B=C+D.
  • Continuidade de \psi':
\psi_{I}'(0)=\psi_{II}'(0)\quad\Rightarrow\quad ik(A-B)=\kappa(C-D).
No ponto x=a:
  • Continuidade de \psi:
\psi_{II}(a)=\psi_{III}(a)\quad\Rightarrow\quad C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=F e^{ika}.
  • Continuidade de \psi':
\psi_{II}'(a)=\psi_{III}'(a)\quad\Rightarrow\quad \kappa\big(C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}\big)=ik F e^{ika}.
Estas quatro equações relacionam as cinco constantes A,B,C,D,F. A quinta constante (escolha de fase/normalização) fica livre; normalmente toma-se A dado (onda incidente) e expressam-se as demais constantes em função de A.
Assim, a parte (b) foi atendida: as quatro relações são
\begin{cases} A+B=C+D,\\[4pt] ik(A-B)=\kappa(C-D),\\[4pt] C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=F e^{ika},\\[4pt] \kappa\big(C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}\big)=ik F e^{ika}. \end{cases}]

Passo 5

Resolver para o coeficiente de transmissão T (estratégia e definição).
Definição física do coeficiente de transmissão: razão entre fluxo de probabilidade (ou corrente) transmitido e o fluxo incidente. Para ondas planas com os mesmos vetores de grupo nas regiões I e III (ambas têm V=0), isto reduz-se a
T=\frac{|F|^{2}}{|A|^{2}}.
Portanto basta encontrar a razão complexa t\equiv F/A e depois T=|t|^{2}.
Estratégia prática: usar as duas equações em x=0 para expressar C e D em função de A e B; inserir essas expressões nas equações em x=a; eliminar B para obter F em função de A. Para facilitar a álgebra, vamos definir
\alpha\equiv\frac{k}{\kappa}.

Passo 6

Expressando C e D em termos de A e B.
Das equações em x=0:
\begin{cases} C+D=A+B,\\[4pt] C-D=\dfrac{ik}{\kappa}(A-B)=i\alpha(A-B). \end{cases}
Somando e subtraindo obtém-se
C=\tfrac{1}{2}\Big[(A+B)+i\alpha(A-B)\Big], \qquad D=\tfrac{1}{2}\Big[(A+B)-i\alpha(A-B)\Big].]

Passo 7

Substituindo C,D nas condições em x=a e manipulando com hiperbólicas.
É conveniente usar combinações exponenciais em funções hiperbólicas. Calculamos
C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=(A+B)\operatorname{cosh}(\kappa a)+i\alpha(A-B)\operatorname{sinh}(\kappa a),
C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}=(A+B)\operatorname{sinh}(\kappa a)+i\alpha(A-B)\operatorname{cosh}(\kappa a).
As equações em x=a tornam-se
(A+B)\operatorname{cosh}(\kappa a)+i\alpha(A-B)\operatorname{sinh}(\kappa a)=F e^{ika},
\kappa\Big[(A+B)\operatorname{sinh}(\kappa a)+i\alpha(A-B)\operatorname{cosh}(\kappa a)\Big]=ikF e^{ika}.
Dividindo a segunda por \kappa e lembrando que i\alpha=\tfrac{ik}{\kappa}, a segunda eq. é
(A+B)\operatorname{sinh}(\kappa a)+i\alpha(A-B)\operatorname{cosh}(\kappa a)=i\alpha F e^{ika}.
Agora temos um sistema linear em (A+B) e (A-B) com RHS proporcional a F e^{ika}. Eliminando (A+B) e (A-B) (álgebra direta: combinar as duas equações de modo a isolar F/A) chega-se à expressão para a razão de amplitudes (transmissão complexa):
t\equiv\frac{F}{A} =\frac{e^{-ika}}{\operatorname{cosh}(\kappa a)+i\,\dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}\operatorname{sinh}(\kappa a)}.
Observação sobre a derivação: a expressão acima surge ao resolver o sistema linear descrito; o denominador combina \operatorname{cosh}(\kappa a) e \operatorname{sinh}(\kappa a) com o coeficiente \dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}. Para não alongar inutilmente com manipulações algébricas longas, esse é o resultado direto da eliminação (passos algébricos são aplicar combinações lineares e usar \operatorname{cosh}^{2}-\operatorname{sinh}^{2}=1).

Passo 8

Calculando T=|t|^{2} e simplificando em termos de E e V_{0}.
Tomando módulo quadrado de t:
T=\left|t\right|^{2} =\frac{1}{\big[\operatorname{cosh}(\kappa a)\big]^{2}+\left(\dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}\right)^{2}\big[\operatorname{sinh}(\kappa a)\big]^{2}}.
Usando \operatorname{cosh}^{2}(\kappa a)=1+\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) obtemos
T=\frac{1}{1+\Bigg(1+\Big(\dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}\Big)^{2}\Bigg)\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}.
Agora note que
k^{2}+\kappa^{2}=\frac{2mE}{\hbar^{2}}+\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}.
Então
\Big(\dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}\Big)^{2} =\frac{V_{0}^{2}}{4E(V_{0}-E)}.
Substituindo de volta e simplificando (agrupando termos) resulta a forma usual bem conhecida:
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_{0}^{2}}{4E(V_{0}-E)}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}.
Esta é a expressão final para o coeficiente de transmissão quando E<V_{0}, com \kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar.

Resposta

(a) \psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}, \psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}, \psi_{III}(x)=F\,e^{ikx}, com k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}} e \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
(b) As quatro relações (continuidade em x=0 e x=a) são
\begin{cases} A+B=C+D,\\[4pt] ik(A-B)=\kappa(C-D),\\[4pt] C e^{\kappa a}+D e^{-\kappa a}=F e^{ika},\\[4pt] \kappa\big(C e^{\kappa a}-D e^{-\kappa a}\big)=ik F e^{ika}. \end{cases}
(c) Coeficiente de transmissão
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_{0}^{2}}{4E(V_{0}-E)}\operatorname{sinh}^{2}\!\big(\kappa a\big)}, \qquad\text{com }\kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.]

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