Átomos de Um Elétron - (3,0 pts.)
Encontre a solução para a equação diferencial para \Phi(\varphi)
\frac{d^{2} \varphi}{d \varphi^{2}}=-m_{j}^{2} \varphi
e obtenha, a partir da exigência de que as autofunçōes sejam unívocas, as condiçōes sobre m_{1} para que tenhamos soluçōes aceitáveis.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial para a função \Phi(\varphi):
\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}} = -m_{1}^{2}\,\Phi(\varphi)
e pede duas coisas:
  1. Encontrar a solução geral dessa equação diferencial para \Phi(\varphi).
  2. A partir da exigência de que as autofunções sejam unívocas (ou seja, que \Phi(\varphi) tenha um único valor para cada direção angular), obter as condições sobre m_{1} para que as soluções sejam aceitáveis.
Informações relevantes dadas: a variável independente é \varphi (ângulo azimutal), a constante real m_{1} aparece na equação e a condição de univocidade se refere ao período angular de 2\pi (ou seja, o mesmo ponto físico corresponde a \varphi e \varphi+2\pi).

Passo 2

Resolver a equação diferencial: é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficiente constante. Reescrevemos em forma padrão:
\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}} + m_{1}^{2}\,\Phi = 0.
Para resolver, usamos o método das equações características: suponha uma solução \Phi(\varphi)=e^{r\varphi}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
r^{2} + m_{1}^{2} = 0.
As raízes são
r = \pm i m_{1}.
Assim, a solução geral, escrevendo em forma exponencial complexa, é
\Phi(\varphi) = A\,e^{i m_{1}\varphi} + B\,e^{-i m_{1}\varphi},
onde A e B são constantes complexas determinadas por condições iniciais ou normalização.

Passo 3

Converter para forma real (opcional mas útil): usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta, a combinação linear acima pode ser reescrita em termos de seno e cosseno reais. Tomando constantes reais equivalentes C e D, obtemos
\Phi(\varphi) = C\cos\!\bigl(m_{1}\varphi\bigr) + D\sin\!\bigl(m_{1}\varphi\bigr).
Aqui C e D são constantes reais relacionadas a A e B. Essa é uma forma prática para ver a periodicidade da solução.

Passo 4

Explicar a condição de univocidade: a exigência de que a autofunção seja unívoca significa matematicamente que, para qualquer \varphi,
\Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi),
pois os ângulos \varphi e \varphi+2\pi representam o mesmo ponto espacial. Essa condição impõe restrições em m_{1}.

Passo 5

Aplicar a condição de univocidade à forma exponencial: seja
\Phi(\varphi) = A\,e^{i m_{1}\varphi} + B\,e^{-i m_{1}\varphi}.
Então
\Phi(\varphi+2\pi) = A\,e^{i m_{1}(\varphi+2\pi)} + B\,e^{-i m_{1}(\varphi+2\pi)} = A\,e^{i m_{1}\varphi}e^{i 2\pi m_{1}} + B\,e^{-i m_{1}\varphi}e^{-i 2\pi m_{1}}.
Para que \Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi) para todo \varphi, devemos ter
e^{i 2\pi m_{1}} = 1.
(Se isso não fosse verdade, os fatores multiplicariam as parcelas por números diferentes e a igualdade não se manteria para todos os \varphi.)

Passo 6

Resolver a condição exponencial: a equação complexa
e^{i 2\pi m_{1}} = 1
significa que o expoente i 2\pi m_{1} difere de um múltiplo inteiro de 2\pi i por um múltiplo de 2\pi i. Em outras palavras,
2\pi m_{1} = 2\pi k \quad\text{com}\quad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2\pi vem
m_{1} = k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Mostrar a mesma conclusão usando a forma trigonométrica (confirmação): usando
\Phi(\varphi) = C\cos\!\bigl(m_{1}\varphi\bigr)+D\sin\!\bigl(m_{1}\varphi\bigr),
a condição \Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi) pede que \cos\!\bigl(m_{1}(\varphi+2\pi)\bigr)=\cos\!\bigl(m_{1}\varphi\bigr) e \sin\!\bigl(m_{1}(\varphi+2\pi)\bigr)=\sin\!\bigl(m_{1}\varphi\bigr) para todo \varphi. Usando as identidades de periodicidade isso é equivalente a exigir
\cos(2\pi m_{1})=1\quad\text{e}\quad \sin(2\pi m_{1})=0,
o que novamente implica 2\pi m_{1}=2\pi k, ou seja m_{1}=k\in\mathbb{Z}.

Passo 8

Interpretação final e observações práticas: portanto as soluções aceitáveis são as que têm a forma exponencial ou trigonométrica com m_{1} inteiro. Valores negativos de m_{1} também são permitidos e correspondem a modos com sentido angular oposto; m_{1}=0 dá uma solução independente de \varphi. Em problemas de átomos de um elétron essas constantes inteiras aparecem como o número quântico magnético (com limites adicionais vindo de outras equações, mas isso já sai do escopo desta equação azimutal).

Resposta

\displaystyle \Phi(\varphi)=A\,e^{i m_{1}\varphi}+B\,e^{-i m_{1}\varphi}\quad (ou \displaystyle \Phi(\varphi)=C\cos(m_{1}\varphi)+D\sin(m_{1}\varphi))\newline
\displaystyle m_{1}\in\mathbb{Z} (ou seja, m_{1}=0,\pm1,\pm2,\ldots).

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