Átomos de Um Elétron - (3,0 pts.)
Encontre a solução para a equação diferencial para
e obtenha, a partir da exigência de que as autofunçōes sejam unívocas, as condiçōes sobre
para que tenhamos soluçōes aceitáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial para a função
:
e pede duas coisas:
- Encontrar a solução geral dessa equação diferencial para
. - A partir da exigência de que as autofunções sejam unívocas (ou seja, que
tenha um único valor para cada direção angular), obter as condições sobre para que as soluções sejam aceitáveis.
Informações relevantes dadas: a variável independente é
(ângulo azimutal), a constante real
aparece na equação e a condição de univocidade se refere ao período angular de
(ou seja, o mesmo ponto físico corresponde a
e
).
Passo 2
Resolver a equação diferencial: é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficiente constante. Reescrevemos em forma padrão:
Para resolver, usamos o método das equações características: suponha uma solução
. Substituindo na equação obtemos a equação característica
As raízes são
Assim, a solução geral, escrevendo em forma exponencial complexa, é
onde
e
são constantes complexas determinadas por condições iniciais ou normalização.
Passo 3
Converter para forma real (opcional mas útil): usando a fórmula de Euler
, a combinação linear acima pode ser reescrita em termos de seno e cosseno reais. Tomando constantes reais equivalentes
e
, obtemos
Aqui
e
são constantes reais relacionadas a
e
. Essa é uma forma prática para ver a periodicidade da solução.
Passo 4
Explicar a condição de univocidade: a exigência de que a autofunção seja unívoca significa matematicamente que, para qualquer
,
pois os ângulos
e
representam o mesmo ponto espacial. Essa condição impõe restrições em
.
Passo 5
Aplicar a condição de univocidade à forma exponencial: seja
Então
Para que
para todo
, devemos ter
(Se isso não fosse verdade, os fatores multiplicariam as parcelas por números diferentes e a igualdade não se manteria para todos os
.)
Passo 6
Resolver a condição exponencial: a equação complexa
significa que o expoente
difere de um múltiplo inteiro de
por um múltiplo de
. Em outras palavras,
Dividindo por
vem
Passo 7
Mostrar a mesma conclusão usando a forma trigonométrica (confirmação): usando
a condição
pede que
e
para todo
. Usando as identidades de periodicidade isso é equivalente a exigir
o que novamente implica
, ou seja
.
Passo 8
Interpretação final e observações práticas: portanto as soluções aceitáveis são as que têm a forma exponencial ou trigonométrica com
inteiro. Valores negativos de
também são permitidos e correspondem a modos com sentido angular oposto;
dá uma solução independente de
. Em problemas de átomos de um elétron essas constantes inteiras aparecem como o número quântico magnético (com limites adicionais vindo de outras equações, mas isso já sai do escopo desta equação azimutal).