8.18 Uma densidade de corrente está distribuída como se segue: \mathbf{J}=0 para |y|>2 \mathrm{~m}, \mathbf{J}=8 y \mathbf{a}_{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} para |y|< 1 \mathrm{~m}, \mathbf{J}=8(2-y) \mathbf{a}_{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} para 1<y<2 \mathrm{~m}, \mathbf{J}=-8 (2+y) \mathbf{a}_{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} para -2<y<-1 \mathrm{~m}. Use simetria e a lei de Ampère para determinar \mathbf{H} em toda parte.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição da densidade de corrente (em A/m²) como função de [y) e pede, por simetria e pela lei de Ampère, o campo \mathbf{H} em toda parte. As informações fornecidas são:
Determinar a forma de \mathbf{H}(y)\] em cada região (isto é, para \(|y|>2, 1<|y|<2 e |y|<1).
Usar simetria e a lei integral de Ampère para encontrar \mathbf{H}.
Observações importantes (dados que vamos usar): a densidade de corrente é função somente de y e sua direção é \mathbf{a}_2 (isto é, corrente unidirecional, variando apenas com a coordenada y). Não há outras dependências espaciais dadas.]
Passo 2
Intuição e argumento de simetria (por que podemos reduzir a forma de \mathbf{H}).
A distribuição de corrente não depende de x nem de z (só depende de y). Isso indica que o problema é uniforme nas direções \mathbf{a}_1 e \mathbf{a}_3: qualquer deslocamento nessas direções deixa a geometria inalterada.
A configuração também é simétrica em relação a reflexões em planos x=0 e z=0. Essas simetrias (translações em x,z e reflexões) restringem fortemente a direção e dependência espacial de \mathbf{H}: o campo só pode depender de y (porque não há variação em x nem em z) e, por simetria, terá uma direção fixa perpendicular à direção de superfície por onde a corrente atravessa a superfície escolhida pelo circuito amperiano. Para a escolha de circuito que vamos usar (explicado a seguir), isso implica que \mathbf{H} tem apenas componente ao longo de \mathbf{a}_1 e é função de y apenas:
\mathbf{H}(y)=H_x(y)\,\mathbf{a}_1.
(Esta é a escolha padrão em exercícios semelhantes: a corrente está ao longo de uma direção fixa e a simetria faz com que o campo resultante seja paralelo a uma das direções ortogonais e dependa só de y.)
Observação prática: como a densidade de corrente é uma função ímpar de y (veremos que \mathbf{J}(-y)=-\mathbf{J}(y) usando as expressões dadas), espera-se que H_x(y) seja uma função par de y (derivada ímpar dá função par, até constante).
Passo 3
Apresentação da lei de Ampère que vamos usar e escolha do caminho amperiano.
Lei integral de Ampère (forma magnetostática, sem deslocamento):
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa qualquer superfície limitada pelo contorno C.
Escolha do contorno C: um retângulo com lados paralelos a \mathbf{a}_1 e \mathbf{a}_2 (isto é, retângulo no plano x-y), com comprimento L ao longo de \mathbf{a}_1 e com as arestas em y=y_1 e y=y_2. Como o problema é uniforme em x e z, a escolha de L é arbitrária e vamos dividir por L onde conveniente para obter quantidades por unidade de comprimento.
Pelo argumento de simetria do passo anterior temos \mathbf{H}=H_x(y)\mathbf{a}_1. Logo, ao percorrer o contorno o único contributo para \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} vem dos dois lados paralelos a \mathbf{a}_1, dando:
A corrente enclosed (atravessando a superfície do retângulo, cuja normal é \mathbf{a}_3) é a integral da componente de \mathbf{J} ao longo da direção do fio atravessado pela superfície. Como \mathbf{J} está na direção \mathbf{a}_2 (a direção ao longo da qual varia), a corrente atravessando a superfície de área L\times (y_2-y_1) é simplesmente
I_{\text{enc}} = L\int_{y_1}^{y_2} J_2(y)\,dy,
onde J_2(y) é a componente de \mathbf{J} na direção \mathbf{a}_2 (isto é, o escalar que aparece multiplicando \mathbf{a}_2 nas expressões dadas).
Cancelando L e passando ao limite diferencial y_2\to y_1, obtemos a relação diferencial
\frac{dH_x}{dy}=J_2(y).
(Dependendo da orientação escolhida do contorno a constante de integração pode trocar de sinal; a forma acima é a mais direta com a orientação adotada aqui.)
Integrando essa relação, uma expressão conveniente para H_x(y) é obtida escolhendo uma condição de contorno: fora da região onde há corrente (|y|>2), não há corrente enclosed extra por deslocar o contorno, portanto devemos ter \mathbf{H}\to \mathbf{0} quando y está fora de todo o volume de corrente (assumimos campo nulo para |y|>2). Assim uma fórmula prática é:
H_x(y) = -\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy',
porque para y>2 o integral é zero e dá H_x(y)=0. (Esta fórmula é equivalente à integral direta a partir de uma referência no infinito.)
Em outras palavras, para calcular H_x em qualquer y precisamos integrar a densidade J_2(y') desde y até +\infty (ou, equivalentemente, integrar desde -\infty até y e ajustar a constante). Agora vamos calcular essas integrais região por região usando as expressões dadas para J_2(y).
Pela simetria do problema (as expressões de \mathbf{J} são ímpares em y), o campo \mathbf{H} é par em y; portanto para -1<y<0 vale a mesma expressão em termos de y^2:
Avalie (faça com atenção; exemplo numérico com y=-1{,}5 confirma o resultado final). O termo central \int_{-1}^{1} 8y'\,dy'=0 (é integral ímpar em intervalo simétrico). A última integral \int_{1}^{2} 8(2-y')\,dy'=4 já foi calculada.
Somando e simplificando (como exemplo geral, pode-se verificar que o resultado final coincide com exercer a simetria par obtida antes), obtemos numericamente para um y em (-2,-1) o mesmo valor que para |y| positivo correspondente. Em particular, calculando para y=-1{,}5 obtemos H_x(-1{,}5)=-1 A/m, igual a H_x(1{,}5) obtido no passo 5. Portanto o campo é par em y e a expressão para -2<y<-1 pode ser escrita usando |y|.