8.18 Uma densidade de corrente está distribuída como se segue: \mathbf{J}=0 para |y|>2 \mathrm{~m}, \mathbf{J}=8 y \mathbf{a}_{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} para |y|< 1 \mathrm{~m}, \mathbf{J}=8(2-y) \mathbf{a}_{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} para 1<y<2 \mathrm{~m}, \mathbf{J}=-8 (2+y) \mathbf{a}_{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} para -2<y<-1 \mathrm{~m}. Use simetria e a lei de Ampère para determinar \mathbf{H} em toda parte.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição da densidade de corrente (em A/m²) como função de [y) e pede, por simetria e pela lei de Ampère, o campo \mathbf{H} em toda parte. As informações fornecidas são:
\mathbf{J}(y)= \begin{cases} \mathbf{0}, & |y|>2\\ \mathrm{m},\\[4pt] 8\,y\,\mathbf{a}_{2}, & |y|<1\\ \mathrm{m},\\[4pt] 8(2-y)\,\mathbf{a}_{2}, & 1<y<2\\ \mathrm{m},\\[4pt] -8(2+y)\,\mathbf{a}_{2}, & -2<y<-1\\ \mathrm{m}. \end{cases}
Perguntas implícitas do enunciado:
  • Determinar a forma de \mathbf{H}(y)\] em cada região (isto é, para \(|y|>2, 1<|y|<2 e |y|<1).
  • Usar simetria e a lei integral de Ampère para encontrar \mathbf{H}.
Observações importantes (dados que vamos usar): a densidade de corrente é função somente de y e sua direção é \mathbf{a}_2 (isto é, corrente unidirecional, variando apenas com a coordenada y). Não há outras dependências espaciais dadas.]

Passo 2

Intuição e argumento de simetria (por que podemos reduzir a forma de \mathbf{H}).
  • A distribuição de corrente não depende de x nem de z (só depende de y). Isso indica que o problema é uniforme nas direções \mathbf{a}_1 e \mathbf{a}_3: qualquer deslocamento nessas direções deixa a geometria inalterada.
  • A configuração também é simétrica em relação a reflexões em planos x=0 e z=0. Essas simetrias (translações em x,z e reflexões) restringem fortemente a direção e dependência espacial de \mathbf{H}: o campo só pode depender de y (porque não há variação em x nem em z) e, por simetria, terá uma direção fixa perpendicular à direção de superfície por onde a corrente atravessa a superfície escolhida pelo circuito amperiano. Para a escolha de circuito que vamos usar (explicado a seguir), isso implica que \mathbf{H} tem apenas componente ao longo de \mathbf{a}_1 e é função de y apenas:
\mathbf{H}(y)=H_x(y)\,\mathbf{a}_1.
(Esta é a escolha padrão em exercícios semelhantes: a corrente está ao longo de uma direção fixa e a simetria faz com que o campo resultante seja paralelo a uma das direções ortogonais e dependa só de y.)
  • Observação prática: como a densidade de corrente é uma função ímpar de y (veremos que \mathbf{J}(-y)=-\mathbf{J}(y) usando as expressões dadas), espera-se que H_x(y) seja uma função par de y (derivada ímpar dá função par, até constante).

Passo 3

Apresentação da lei de Ampère que vamos usar e escolha do caminho amperiano.
  • Lei integral de Ampère (forma magnetostática, sem deslocamento):
\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa qualquer superfície limitada pelo contorno C.
  • Escolha do contorno C: um retângulo com lados paralelos a \mathbf{a}_1 e \mathbf{a}_2 (isto é, retângulo no plano x- y), com comprimento L ao longo de \mathbf{a}_1 e com as arestas em y=y_1 e y=y_2. Como o problema é uniforme em x e z, a escolha de L é arbitrária e vamos dividir por L onde conveniente para obter quantidades por unidade de comprimento.
  • Pelo argumento de simetria do passo anterior temos \mathbf{H}=H_x(y)\mathbf{a}_1. Logo, ao percorrer o contorno o único contributo para \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} vem dos dois lados paralelos a \mathbf{a}_1, dando:
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=H_x(y_2)\,L - H_x(y_1)\,L = L\bigl(H_x(y_2)-H_x(y_1)\bigr).
  • A corrente enclosed (atravessando a superfície do retângulo, cuja normal é \mathbf{a}_3) é a integral da componente de \mathbf{J} ao longo da direção do fio atravessado pela superfície. Como \mathbf{J} está na direção \mathbf{a}_2 (a direção ao longo da qual varia), a corrente atravessando a superfície de área L\times (y_2-y_1) é simplesmente
I_{\text{enc}} = L\int_{y_1}^{y_2} J_2(y)\,dy,
onde J_2(y) é a componente de \mathbf{J} na direção \mathbf{a}_2 (isto é, o escalar que aparece multiplicando \mathbf{a}_2 nas expressões dadas).

Passo 4

Dedução da relação diferencial entre H_x e J_2.
  • Igualando Ampère:
L\bigl(H_x(y_2)-H_x(y_1)\bigr)=L\int_{y_1}^{y_2} J_2(y)\,dy.
Cancelando L e passando ao limite diferencial y_2\to y_1, obtemos a relação diferencial
\frac{dH_x}{dy}=J_2(y).
(Dependendo da orientação escolhida do contorno a constante de integração pode trocar de sinal; a forma acima é a mais direta com a orientação adotada aqui.)
  • Integrando essa relação, uma expressão conveniente para H_x(y) é obtida escolhendo uma condição de contorno: fora da região onde há corrente ( |y|>2), não há corrente enclosed extra por deslocar o contorno, portanto devemos ter \mathbf{H}\to \mathbf{0} quando y está fora de todo o volume de corrente (assumimos campo nulo para |y|>2). Assim uma fórmula prática é:
H_x(y) = -\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy',
porque para y>2 o integral é zero e dá H_x(y)=0. (Esta fórmula é equivalente à integral direta a partir de uma referência no infinito.)
  • Em outras palavras, para calcular H_x em qualquer y precisamos integrar a densidade J_2(y') desde y até +\infty (ou, equivalentemente, integrar desde -\infty até y e ajustar a constante). Agora vamos calcular essas integrais região por região usando as expressões dadas para J_2(y).

Passo 5

Cálculo em detalhes para a região 1<y<2.
Para 1<y<2 temos J_2(y)=8(2-y). Usamos a fórmula
H_x(y) = -\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy' = -\int_{y}^{2} 8(2-y')\,dy',
porque para y'>2 a densidade é zero.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{y}^{2} 8(2-y')\,dy' = 8\int_{y}^{2} (2-y')\,dy' = 8\Bigl[2y' - \frac{{y'}^{2}}{2}\Bigr]_{y}^{2}.
Avalie nos limites:
8\Bigl[(2\cdot 2 - \tfrac{2^2}{2}) - (2y - \tfrac{y^2}{2})\Bigr] =8\Bigl[(4-2) - \bigl(2y-\tfrac{y^2}{2}\bigr)\Bigr] =8\Bigl(2 - 2y + \tfrac{y^2}{2}\Bigr).
Multiplicando por 8
16 - 16y + 4y^2.
Então
H_x(y) = -\bigl(16 -16y +4y^2\bigr) = -4y^2 +16y -16.
Portanto, para 1<y<2,
\mathbf{H}(y)=\bigl(-4y^2 +16y -16\bigr)\,\mathbf{a}_1.

Passo 6

Cálculo em detalhes para a região 0<y<1 (e por simetria depois para -1<y<0).
Para 0<y<1 temos J_2(y)=8y (na região |y|<1). Então
H_x(y) = -\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy' = -\Bigl(\int_{y}^{1} 8y'\,dy' + \int_{1}^{2} 8(2-y')\,dy'\Bigr),
pois para y'>2 a densidade é zero, e entre 1 e 2 usamos a expressão da região intermediária.
Calcule cada integral:
\int_{y}^{1} 8y'\,dy' = 8\cdot\frac{1}{2}\bigl(1^2 - y^2\bigr) = 4(1-y^2).
Já vimos no passo anterior que
\int_{1}^{2} 8(2-y')\,dy' = 4.
Somando,
\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy' = 4(1-y^2)+4 = 8 - 4y^2.
Portanto
H_x(y) = -(8 - 4y^2) = 4y^2 -8.
Logo, para 0<y<1,
\mathbf{H}(y)=\bigl(4y^2 -8\bigr)\,\mathbf{a}_1.
Pela simetria do problema (as expressões de \mathbf{J} são ímpares em y), o campo \mathbf{H} é par em y; portanto para -1<y<0 vale a mesma expressão em termos de y^2:
\mathbf{H}(y)=\bigl(4y^2 -8\bigr)\,\mathbf{a}_1\quad\text{para }-1<y<0.

Passo 7

Cálculo em detalhes para a região -2<y<-1 (e verificação de continuidade).
Para -2<y<-1 temos J_2(y)=-8(2+y). Usamos a fórmula direta
H_x(y) = -\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy'.
Aqui é conveniente dividir a integral nas partes [y,-1], [-1,1] e [1,2], porque as expressões de J_2 mudam:
\int_{y}^{\infty} J_2(y')\,dy' = \int_{y}^{-1} (-8(2+y'))\,dy' + \int_{-1}^{1} 8y'\,dy' + \int_{1}^{2} 8(2-y')\,dy'.
Calcule cada parte:
  1. Para \int_{y}^{-1} -8(2+y')\,dy':
-8\int_{y}^{-1} (2+y')\,dy' = -8\Bigl[2y' + \tfrac{{y'}^{2}}{2}\Bigr]_{y}^{-1}.
Avalie (faça com atenção; exemplo numérico com y=-1{,}5 confirma o resultado final). O termo central \int_{-1}^{1} 8y'\,dy'=0 (é integral ímpar em intervalo simétrico). A última integral \int_{1}^{2} 8(2-y')\,dy'=4 já foi calculada.
Somando e simplificando (como exemplo geral, pode-se verificar que o resultado final coincide com exercer a simetria par obtida antes), obtemos numericamente para um y em (-2,-1) o mesmo valor que para |y| positivo correspondente. Em particular, calculando para y=-1{,}5 obtemos H_x(-1{,}5)=-1 A/m, igual a H_x(1{,}5) obtido no passo 5. Portanto o campo é par em y e a expressão para -2<y<-1 pode ser escrita usando |y|.
Concluímos que, para 1<|y|<2,
\mathbf{H}(y)=\bigl(-4|y|^2 +16|y| -16\bigr)\,\mathbf{a}_1.

Passo 8

Comportamento fora da região de corrente e verificação de continuidade.
  • Para |y|>2 não há corrente por fora, logo \mathbf{H}=0 (escolhemos a referência de contorno no infinito onde o campo é nulo).
  • Verifique continuidade nas interfaces y=\pm1 e y=\pm2:
    • Em y=1: pela expressão para |y|<1 temos H_x(1)=4(1)^2-8=-4. Pela expressão para 1<|y|<2 com |y|=1 temos -4(1)^2+16\cdot1-16=-4. Portanto contínuo.
    • Em y=2: pela expressão para 1<|y|<2 com |y|=2 obtemos -4(4)+32-16=0. Para |y|>2 temos 0. Portanto contínuo.
Tudo consistente.

Resposta

\mathbf{H}(y)=\mathbf{0} para |y|>2.
\mathbf{H}(y)=\bigl(-4|y|^{2}+16|y|-16\bigr)\,\mathbf{a}_{1} para 1<|y|<2.
\mathbf{H}(y)=\bigl(4y^{2}-8\bigr)\,\mathbf{a}_{1} para |y|<1.

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