3-O potencial do átomo de hidrogênio neutro é dado por
phi(r)=q exp (-K r)r(1+K r2),
onde q é a carga eletrônica do núcleo e K=1 / 2 ao, sendo ao o raio de Bohr. Determine a
distribuição de carga (tanto contínua como discreta) que produz este potencial e interprete fisicamente o resultado.

Passo 1

O enunciado dá o potencial esférico
phi(r)=q,e^-Krrl(1+tfracKr2r)
do átomo de hidrogênio neutro (unidades gaussianas), com K=1/(2a0). Queremos achar a densidade de carga rho(r) (parte contínua e parte pontual) que satisfaz a equação de Poisson em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em unidades gaussianas a equação de Poisson é
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Como depende só de , usamos

Passo 3

Escrevemos
phi(r) =ql[e^-Krr+K2,e^-Krr]
Usamos as identidades conhecidas
∇^2e^-Krr =K^2e^-Krr-4pi,de<a( r), ∇^2e^-Kr =e^-Kr!l(K^2-2Krr)
Portanto
∇^2phi =ql[ underbraceK^2e^-Krr-4pide<a( r)∇^2(e^-Kr/r) +K2,∇^2(e^-Kr) r] =ql[K^2e^-Krr-4pide<a( r) +K2l(K^2-2Krr)e^-Krr]
Ao simplificar os termos em 1/r verifica-se que eles se cancelam, restando
∇^2phi =ql[K^32,e^-Kr-4pi,de<a( r)r]

Passo 4

Daí
rho(r) =-14pi∇^2phi =-q4pil[K^32,e^-Kr-4pi,de<a( r)r] =,q,de<a( r);-;q,K^38pi,e^-Kr
Ou seja, há uma carga pontual +q no núcleo ( de<a em r=0) e uma densidade contínua negativa
rhorm cont(r)=-q,K^38pi,e^-Kr,
que, ao integrar sobre todo o espaço, dá -q, garantindo neutralidade.

Passo 5

Fisicamente isso mostra que o potencial vem da carga positiva do núcleo ( +q) mais uma “nuvem” eletrônica de densidade propto e^-Kr (estado fundamental do átomo de hidrogênio), cuja carga total é -q. Essa distribuição descreve o espalhamento e o escudo do núcleo pelo elétron no orbital 1s.

Resposta

rho(r)=q,de<a( r);-;q,K^38pi,e^-Kr
Interpretação: carga pontual +q no núcleo e nuvem eletrônica contínua de densidade negativa e^-Kr, totalizando carga -q.

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