3-O potencial do átomo de hidrogênio neutro é dado por
onde é a carga eletrônica do núcleo e , sendo o raio de Bohr. Determine a
distribuição de carga (tanto contínua como discreta) que produz este potencial e interprete fisicamente o resultado.
Passo 1
O enunciado dá o potencial esférico
do átomo de hidrogênio neutro (unidades gaussianas), com . Queremos achar a densidade de carga (parte contínua e parte pontual) que satisfaz a equação de Poisson em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em unidades gaussianas a equação de Poisson é
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Como depende só de , usamos
Passo 3
Escrevemos
Usamos as identidades conhecidas
Portanto
Ao simplificar os termos em 1/r verifica-se que eles se cancelam, restando
Ou seja, há uma carga pontual +q no núcleo (de<a em r=0) e uma densidade contínua negativa
rhorm cont(r)=-q,K^38pi,e^-Kr,
que, ao integrar sobre todo o espaço, dá -q, garantindo neutralidade.
Passo 5
Fisicamente isso mostra que o potencial vem da carga positiva do núcleo (+q) mais uma “nuvem” eletrônica de densidade propto e^-Kr (estado fundamental do átomo de hidrogênio), cuja carga total é -q. Essa distribuição descreve o espalhamento e o escudo do núcleo pelo elétron no orbital 1s.
Resposta
rho(r)=q,de<a( r);-;q,K^38pi,e^-Kr
Interpretação: carga pontual +q no núcleo e nuvem eletrônica contínua de densidade negativa e^-Kr, totalizando carga -q.