Algumas distribuições de carga, apesar de não serem formadas por cargas pontuais discretas, podem ser expressas em termos de funções delta de Dirac apropriadas. Com base nisso, e a simetria da distribuição de carga, exprima as seguintes distribuições contínuas de carga nos apropriados sistemas de coordenadas:
Um anel de raio R no plano xy com uma carga total Q distribuída uniformemente

Passo 1

O enunciado descreve um anel de raio R no plano xy com carga total Q uniformemente distribuída. Para representar essa carga concentrada numa circunferência, vamos usar função delta de Dirac no sistema de coordenadas cilíndricas (rho,phi,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é rho,drho,dphi,dz e a densidade volumétrica de carga varrho(rho,phi,z) deve satisfazer
Q = integral0^2pi!integral0^infty!integral-infty^infty varrho(rho,phi,z);rho,drho,dphi,dz

Passo 3

Como toda a carga está confinada em rho=R e z=0, mas distribuída uniformemente em phi, postulamos
varrho(rho,phi,z) = A,de<a(rho - R),de<a(z)
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Substituindo na integral de Q:
Q = integral0^2pi!integral0^infty!integral-infty^infty A,de<a(rho-R),de<a(z),rho,drho,dphi,dz = A,(2pi),l[rhor]rho=R,(1) = 2pi R,A
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A = Q2pi R

Passo 5

Assim, a densidade volumétrica de carga em coordenadas cilíndricas é
varrho(rho,phi,z) = Q2pi R,de<a(rho - R),de<a(z)

Resposta

varrho(rho,phi,z) = Q2pi R,de<a(rho - R),de<a(z)

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