10 - Considere um elétron em um estado de spin dado pelo spinor:
a) Determine a constante de normalização
.
Passo 1
O enunciado dá o spinor do elétron
e pede para determinar a constante de normalização
. Ou seja: encontrar
tal que o spinor esteja normalizado (norma igual a 1).]
Passo 2
Conceito chave (explicando devagar e sem pressa): para um spinor coluna
a condição de normalização é
onde
é o conjugado hermitiano de
(transposta e complexamente conjugada). Isso garante que a probabilidade total associada ao estado de spin seja
.
Passo 3
Calculemos
. Como
, o conjugado complexo de
é
, e o conjugado hermitiano é um vetor linha:
onde
é o conjugado complexo de
.]
Passo 4
Agora multiplicamos
. Isso dá
Calcule o produto interno dos componentes:
Portanto o somatório é
. Outra forma curta de ver isso é somar os quadrados dos módulos:
.
Passo 5
Substituindo no requisito de normalização
obtemos
Assim
Passo 6
Interpretação final: a norma fixa apenas o módulo de
. Portanto a constante de normalização pode ser escolhida com uma fase global arbitrária:
Na prática costuma-se escolher a fase nula (escolha conveniente, real e positiva), isto é