10 - Considere um elétron em um estado de spin dado pelo spinor:
\chi=A\binom{1}{2 i}
a) Determine a constante de normalização A.

Passo 1

O enunciado dá o spinor do elétron
\chi = A \begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix}
e pede para determinar a constante de normalização A. Ou seja: encontrar A tal que o spinor esteja normalizado (norma igual a 1).]

Passo 2

Conceito chave (explicando devagar e sem pressa): para um spinor coluna \chi a condição de normalização é
\chi^\dagger \chi = 1,
onde \chi^\dagger é o conjugado hermitiano de \chi (transposta e complexamente conjugada). Isso garante que a probabilidade total associada ao estado de spin seja 1.

Passo 3

Calculemos \chi^\dagger. Como \chi = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix}, o conjugado complexo de 2i é -2i, e o conjugado hermitiano é um vetor linha:
\chi^\dagger = A^* \begin{pmatrix}1 & -2i\end{pmatrix},
onde A^* é o conjugado complexo de A.]

Passo 4

Agora multiplicamos \chi^\dagger\chi. Isso dá
\chi^\dagger\chi = A^* A \big(1\cdot 1 + (-2i)\cdot(2i)\big).
Calcule o produto interno dos componentes:
(-2i)\cdot(2i) = -4 i^2 = -4(-1)=4.
Portanto o somatório é 1+4=5. Outra forma curta de ver isso é somar os quadrados dos módulos: |1|^2+|2i|^2=1+4=5.

Passo 5

Substituindo no requisito de normalização \chi^\dagger\chi=1 obtemos
|A|^2\cdot 5 = 1.
Assim
|A| = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Interpretação final: a norma fixa apenas o módulo de A. Portanto a constante de normalização pode ser escolhida com uma fase global arbitrária:
A = \frac{e^{i\varphi}}{\sqrt{5}}\quad\text{(qualquer }\varphi\in\mathbb{R}\text{)}.
Na prática costuma-se escolher a fase nula (escolha conveniente, real e positiva), isto é
A=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Resposta

A=\dfrac{1}{\sqrt{5}}

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