8 - Calcule \langle r\rangle e \left\langle r^{2}\right\rangle para um elétron no estado tundamental do hıdrogenıo. Expresse sua resposta nos termos do raio de Bohr. Dado: Função de onda do átomo de hidrogênio no estado fundamental
\Psi_{100}(r, \theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^{3}}} e^{-\frac{r}{a}}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede calcular \langle r\rangle e \left\langle r^{2}\right\rangle para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio.
  • A função de onda fornecida (peguei do enunciado) é
\Psi_{100}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^{3}}} e^{-\frac{r}{a}},
onde a é o raio de Bohr (a constante do problema).
  • Resultado final deve ser expresso em termos de a.

Passo 2

Fórmula geral de expectativa e simplificação por simetria (aulas rápidas).
  • A expectativa de uma função radial f(r) é dada por
\langle f(r)\rangle=\int_{\text{todo espaço}} \Psi^*(\mathbf{r})\, f(r)\, \Psi(\mathbf{r})\, dV.ç
  • Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
  • Como \Psi_{100} depende só de r, as integrais angulares independem de r e dão um fator
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=4\pi.
  • Assim, para f(r)=r e f(r)=r^{2} obtemos integrais unidimensionais em r com fator angular 4\pi.

Passo 3

Preparar |\Psi_{100}|^{2} e montar a integral para \langle r\rangle.
  • Primeiro calculemos o quadrado da função de onda (probabilidade radial):
|\Psi_{100}(r,\theta,\varphi)|^{2}=\Psi_{100}^*\Psi_{100}=\frac{1}{\pi a^{3}} e^{-\frac{2r}{a}}.
  • A expectativa \langle r\rangle fica
\langle r\rangle= \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} r\, |\Psi_{100}|^{2}\, r^{2}\sin\theta\, d\varphi\, d\theta\, dr.
  • Fazendo as integrais angulares e substituindo |\Psi|^2:
\langle r\rangle = 4\pi \int_{0}^{\infty} r^{3}\left(\frac{1}{\pi a^{3}} e^{-\frac{2r}{a}}\right) dr = \frac{4}{a^{3}} \int_{0}^{\infty} r^{3} e^{-\frac{2r}{a}}\, dr.

Passo 4

Calcular a integral \int_{0}^{\infty} r^{3} e^{-\frac{2r}{a}}\, dr.
  • Usamos a fórmula padrão (que vale para n inteiro não-negativo e b>0):
\int_{0}^{\infty} r^{n} e^{-b r}\, dr = \frac{n!}{b^{\,n+1}}.
Breve justificativa: fazer a mudança de variável x=br \int_{0}^{\infty} r^{n} e^{-b r} dr = b^{-(n+1)}\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} dx, e \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} dx = \Gamma(n+1)=n!.
  • Aqui n=3 e b=\tfrac{2}{a}, então
\int_{0}^{\infty} r^{3} e^{-\frac{2r}{a}}\, dr = \frac{3!}{\left(\tfrac{2}{a}\right)^{4}} = \frac{6}{\tfrac{16}{a^{4}}} = \frac{6a^{4}}{16} = \frac{3a^{4}}{8}.
  • Substituindo em \langle r\rangle:
\langle r\rangle = \frac{4}{a^{3}}\cdot \frac{3a^{4}}{8} = \frac{12a}{8} = \frac{3}{2}a.

Passo 5

Montar e calcular a integral para \left\langle r^{2}\right\rangle.
  • Seguindo o mesmo raciocínio:
\left\langle r^{2}\right\rangle = 4\pi \int_{0}^{\infty} r^{4}\left(\frac{1}{\pi a^{3}} e^{-\frac{2r}{a}}\right) dr = \frac{4}{a^{3}} \int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-\frac{2r}{a}}\, dr.
  • Agora n=4 e b=\tfrac{2}{a}. Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-\frac{2r}{a}}\, dr = \frac{4!}{\left(\tfrac{2}{a}\right)^{5}} = \frac{24}{\tfrac{32}{a^{5}}} = \frac{24 a^{5}}{32} = \frac{3 a^{5}}{4}.
  • Substituindo:
\left\langle r^{2}\right\rangle = \frac{4}{a^{3}}\cdot \frac{3a^{5}}{4} = 3 a^{2}.

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida (intuição).
  • Obtivemos \langle r\rangle = \tfrac{3}{2}a, ou seja, o valor médio da distância do elétron ao núcleo no estado fundamental é 1{,}5 vezes o raio de Bohr — isso é um resultado clássico e faz sentido fisicamente.
  • Obtivemos \langle r^{2}\rangle = 3 a^{2}. Essas magnitudes têm as unidades corretas e são consistentes entre si.

Resposta

\langle r\rangle=\dfrac{3}{2}a
\left\langle r^{2}\right\rangle=3a^{2}

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