8 - Calcule
e
para um elétron no estado tundamental do hıdrogenıo. Expresse sua resposta nos termos do raio de Bohr. Dado: Função de onda do átomo de hidrogênio no estado fundamental
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede calcular
e para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. - A função de onda fornecida (peguei do enunciado) é
onde
é o raio de Bohr (a constante do problema).
- Resultado final deve ser expresso em termos de
.
Passo 2
Fórmula geral de expectativa e simplificação por simetria (aulas rápidas).
- A expectativa de uma função radial
é dada por
- Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
. - Como
depende só de , as integrais angulares independem de e dão um fator
- Assim, para
e obtemos integrais unidimensionais em com fator angular .
Passo 3
Preparar
e montar a integral para
.
- Primeiro calculemos o quadrado da função de onda (probabilidade radial):
- A expectativa
fica
- Fazendo as integrais angulares e substituindo
:
Passo 4
Calcular a integral
.
- Usamos a fórmula padrão (que vale para
inteiro não-negativo e ):
Breve justificativa: fazer a mudança de variável
dá
, e
.
- Aqui
e , então
- Substituindo em
:
Passo 5
Montar e calcular a integral para
.
- Seguindo o mesmo raciocínio:
- Agora
e . Aplicando a fórmula:
- Substituindo:
Passo 6
Resumo físico e checagem rápida (intuição).
- Obtivemos
, ou seja, o valor médio da distância do elétron ao núcleo no estado fundamental é vezes o raio de Bohr — isso é um resultado clássico e faz sentido fisicamente. - Obtivemos
. Essas magnitudes têm as unidades corretas e são consistentes entre si.