10 - Considere um elétron em um estado de spin dado pelo spinor:
c) Calcule o valor esperado da componente
do spin, ou seja,
.Dica para o gabarito: O aluno deve normalizar fazendo
, usar os operadores
e
, e aplicar a definição de valor esperado
.
Passo 1
O enunciado dá o spinor
e pede para calcular o valor esperado da componente
do spin, isto é
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O coeficiente
não está normalizado a priori. - Deve ser usado o operador
. - A definição de valor esperado é
. - É necessário normalizar impondo
.]
Passo 2
Normalizar o spinor (achar
).
Calcular o produto interno
. Compondo explicitamente:
O norm² é
Impondo
temos
, logo
Podemos escolher
(fase global irrelevante para valores esperados).
Assim
Passo 3
Apresentar o operador
e lembrar a definição de produto interno para spinores.
A matriz de Pauli
é
portanto
Para um spinor coluna
, o bra é
(conjugado transposto). O valor esperado é
Passo 4
Calcular explicitamente
.
Primeiro aplicar
ao vetor interno:
Então
O bra correspondente é
Agora o produto escalar:
Juntando os fatores escalares:
Passo 5
Interpretação rápida e dica para a prova:
- O passo-padrão para esses problemas é sempre: (i) normalizar o spinor, (ii) escrever o operador matricial (aqui
), (iii) aplicar o operador ou calcular , lembrando de conjugar os componentes do bra. - O resultado zero significa que, no estado dado, não há componente média de spin na direção
(valores positivos e negativos se cancelam). - Fica de dica: cuide sempre da conjugação dos componentes (ex.:
) — erros aí são a fonte comum de deslizes.