10 - Considere um elétron em um estado de spin dado pelo spinor:
\chi=A\binom{1}{2 i}
c) Calcule o valor esperado da componente x do spin, ou seja, \left\langle S_{x}\right\rangle.Dica para o gabarito: O aluno deve normalizar fazendo \chi^{\dagger} \chi=1, usar os operadores S_{z}=\frac{\hbar}{2} \sigma_{z} e S_{x}=\frac{\hbar}{2} \sigma_{x}, e aplicar a definição de valor esperado \langle\chi| S_{x}|\chi\rangle.

Passo 1

O enunciado dá o spinor
\chi = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix}
e pede para calcular o valor esperado da componente x do spin, isto é \langle S_x\rangle.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O coeficiente A não está normalizado a priori.
  • Deve ser usado o operador S_x = \dfrac{\hbar}{2}\sigma_x.
  • A definição de valor esperado é \langle S_x\rangle = \langle\chi|S_x|\chi\rangle.
  • É necessário normalizar impondo \chi^\dagger \chi = 1.]

Passo 2

Normalizar o spinor (achar A).
Calcular o produto interno \chi^\dagger \chi. Compondo explicitamente:
\chi = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix}, \qquad \chi^\dagger = A^*\begin{pmatrix}1^* & (2i)^*\end{pmatrix}=A^*\begin{pmatrix}1 & -2i\end{pmatrix}.
O norm² é
\chi^\dagger\chi = |A|^2\bigl(|1|^2 + |2i|^2\bigr) = |A|^2(1 + 4) = 5|A|^2.
Impondo \chi^\dagger\chi=1 temos 5|A|^2=1, logo
|A|=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Podemos escolher A=\dfrac{1}{\sqrt{5}} (fase global irrelevante para valores esperados).
Assim
\chi = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix}.]

Passo 3

Apresentar o operador S_x e lembrar a definição de produto interno para spinores.
A matriz de Pauli \sigma_x é
\sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
portanto
S_x = \frac{\hbar}{2}\sigma_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Para um spinor coluna |\chi\rangle, o bra é \langle\chi|=\chi^\dagger (conjugado transposto). O valor esperado é
\langle S_x\rangle = \langle\chi|S_x|\chi\rangle = \chi^\dagger\!\left(\frac{\hbar}{2}\sigma_x\right)\chi.]

Passo 4

Calcular explicitamente \langle S_x\rangle.
Primeiro aplicar \sigma_x ao vetor interno:
\sigma_x\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então
S_x|\chi\rangle = \frac{\hbar}{2}\sigma_x\chi = \frac{\hbar}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}=\frac{\hbar}{2\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O bra correspondente é
\langle\chi| = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2i\end{pmatrix}.
Agora o produto escalar:
\langle S_x\rangle = \langle\chi|S_x|\chi\rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2i\end{pmatrix} \cdot\frac{\hbar}{2\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Juntando os fatores escalares:
\langle S_x\rangle = \frac{1}{5}\cdot\frac{\hbar}{2}\bigl(1\cdot 2i + (-2i)\cdot 1\bigr) = \frac{\hbar}{10}\bigl(2i - 2i\bigr)=0.]

Passo 5

Interpretação rápida e dica para a prova:
  • O passo-padrão para esses problemas é sempre: (i) normalizar o spinor, (ii) escrever o operador matricial (aqui S_x), (iii) aplicar o operador ou calcular \chi^\dagger (\cdot)\chi, lembrando de conjugar os componentes do bra.
  • O resultado zero significa que, no estado dado, não há componente média de spin na direção x (valores positivos e negativos se cancelam).
  • Fica de dica: cuide sempre da conjugação dos componentes (ex.: (2i)^*=-2i) — erros aí são a fonte comum de deslizes.

Resposta

\langle S_x\rangle = 0

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