10 - Considere um elétron em um estado de spin dado pelo spinor:
\chi=A\binom{1}{2 i}
b) Se medirmos a componente z do spin \left(S_{z}\right), quais são os resultados possíveis e com quais probabilidades?

Passo 1

O enunciado dá o spinor do elétron
\chi = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix},
e pergunta, ao medir a componente S_z, quais são os resultados possíveis e com quais probabilidades.
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos (sem resolver ainda):
  • Para um spin 1/2, a medida de S_z só pode dar os autovalores +\hbar/2 e -\hbar/2.
  • Os autoestados correspondentes de S_z na base padrão (coluna) são
\chi_{+}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \chi_{-}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • As probabilidades de obter cada resultado são os quadrados dos módulos das projeções do estado \chi nesses autoestados, isto é, |\langle\chi_{+}|\chi\rangle|^{2} e |\langle\chi_{-}|\chi\rangle|^{2}.
  • O spinor \chi precisa estar normalizado (ou seja, \langle\chi|\chi\rangle=1) para aplicar diretamente essas fórmulas; isso determinará |A|.]

Passo 2

Normalização do spinor: explicar o que é e calcular A.
O requisito de normalização significa que a soma dos quadrados dos módulos das componentes deve ser 1:
\langle\chi|\chi\rangle = 1.
Para o spinor dado isso dá
\langle\chi|\chi\rangle = |A|^{2}\bigl(|1|^{2}+|2i|^{2}\bigr).
Aqui |1|^{2}=1 e |2i|^{2}=(2)^{2}=4 porque o módulo de 2i é 2. Então
\langle\chi|\chi\rangle = |A|^{2}(1+4)=5|A|^{2}.
Impondo 5|A|^{2}=1 obtemos
|A|=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Podemos escolher a fase global de A como 1 (número real positivo) porque fases globais não afetam probabilidades; assim tomamos
A=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 3

Cálculo da probabilidade de S_z=+\hbar/2.
A amplitude para o autoestado \chi_{+} é a primeira componente do spinor (produto interno \langle\chi_{+}|\chi\rangle):
\langle\chi_{+}|\chi\rangle = A\cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{5}}.
A probabilidade é o quadrado do módulo dessa amplitude:
P\bigl(S_z=+\hbar/2\bigr)=\left|\langle\chi_{+}|\chi\rangle\right|^{2}=\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right|^{2}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de S_z=-\hbar/2.
A amplitude para \chi_{-} é a segunda componente do spinor:
\langle\chi_{-}|\chi\rangle = A\cdot 2i = \frac{2i}{\sqrt{5}}.
O módulo ao quadrado dessa amplitude é
\left|\frac{2i}{\sqrt{5}}\right|^{2}=\frac{|2i|^{2}}{5}=\frac{4}{5},
porque |2i|^{2}=4. Logo
P\bigl(S_z=-\hbar/2\bigr)=\frac{4}{5}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
As duas probabilidades somam \dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}=1, como deve ser para um estado normalizado. Portanto os únicos resultados possíveis ao medir S_z são +\hbar/2 e -\hbar/2 com as probabilidades calculadas acima.

Resposta

+\hbar/2:\\ \dfrac{1}{5}
-\hbar/2:\\ \dfrac{4}{5}

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